线性代数导论27——复数矩阵和快速傅里叶变换
本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第二十七课时：复数矩阵和快速傅里叶变换
本讲学习有关复数的相关问题。当特征值为复数时，特征向量也变为复数。如何求两个复向量的内积。一个重要的复矩阵的例子就是傅里叶矩阵。 还将介绍
傅里叶变换，简称FFT，在计算机里常用，特别是当涉及到大数据的时候，因为它可以很快的进行傅里叶变换，即是说
做乘法时，怎样才能快速用这个n阶方阵做乘法，通常，n阶方阵的乘法要算n2次，因为有n2个非零元素，这是个全矩阵，且这个矩阵的列向量正交，而快速傅里叶变换将原先要进行的n2次计算缩减到nlogn，这只是简单的矩阵分解，但改变是巨大的。
复向量和复矩阵
给定复向量z，每个元素是复数，z向量是在
C
n而不是在R
n
中，即n维复空间。
复向量的模
z的模是怎样的？复向量的模不能向实向量那样求z
T
z
，因为，举例：(1 i)*(1 i)=0了
但是如果求向量与共轭向量的乘积，那就可以。
求模时，在做转置的时候还需要求共轭复数。
用zHz表示，这就是模长的平方。zH表示对向量z的转置并共轭，
H代表埃尔米特Hermite，
复向量的内积：yHx。
对称矩阵：意味着
A
T=
A，这个理论只在实矩阵时成立。
埃尔米特矩阵：对于复矩阵，复对称矩阵需满足的是AH=A，AH 表示的是对角线上元素不变，其余对称的元素转置时变为共轭复数。
对称矩阵和
埃尔米特矩阵的特征值是实数，特征向量相互垂直。
如果一组复向量是标准正交基，那么向量间垂直长度为1，那么有（图中转置共轭或用qi
H
表示
）：
那么正交矩阵需要满足的条件即为：QHQ
=I，在复空间，叫做酉矩阵unitary。（酉矩阵：n阶方阵，列向量正交，单位向量）
傅里叶矩阵：最著名的
酉矩阵
n阶傅里叶矩阵：全矩阵，是一个酉矩阵
元素是w的幂，且
w
n
=1 （n是矩阵阶数），在复平面内，w落在单位圆上。
如图右，当n=6时，w=
ei2
π/6
，w
6
=1
，可以说1的六次方根是它们，w是原根。
当n=4时，w
4
=1
，w=
ei2
π/4
=i （刚好是90°）
，w
2
=-1，w
3
=-i，w
4
=1，所有4阶傅里叶矩阵如下：
由于是酉矩阵，列向量正交，但长度是2，可以除以2得到标准正交的，
矩阵的逆F4-1=F4H，F4HF4=I。
四点傅里叶变换作用于四维向量
傅里叶变换：向量左乘矩阵F4（四点傅里叶变换）
傅里叶逆变换：向量左乘矩阵F4-1（四点傅里叶逆变换）
一个很好的性质：可以把傅里叶矩阵分解为一些列“稀疏矩阵”。
快速傅里叶变换FFT
(w64)
2
=w
32，
F64与F32之间也存在关联
可将左右两侧的矩阵叫修正此等式的矩阵，修正矩阵。右侧P是奇偶置换矩阵，上部分阶梯型的1是在列x0,x2,x4...x62，下部分阶梯型的1是在列x1,x3,...,x63，P乘以一个向量，它把偶数位置上的分量全部排到奇数前面。
左侧是由单位阵和对角阵组成。
所以：F64与向量或矩阵相乘的计算开销由原来的
64
2
变成：2*
32
2
+32，加32是左乘对角阵D的开销，乘I或P的计算开销忽略不计。
而且，F32又可以继续递归分解，进一步减少计算开销，开销将变为：2*(2*(16
2
)
+16)+32。最终分解为二阶，一阶傅里叶矩阵，左右两侧却堆满了修正矩阵，共有log64=6个修正矩阵，第一次是32阶，然后16，8，4，2，1，一共6步。计算开销最终变为6×64=64log64，因此：
计算开销为1/2*nlogn，对于n阶傅里叶变换，无需n2
次乘法，只需要1/2*nlogn即可。这是矩阵分解的功劳。