catalan 数 证明

catalan 数 证明

定理：n个1 和n个-1 构成的2n项 a1,a2….a2n ,其部分和

满足 a1 + a2 + …aK >= 0 (k = 1 2 … 2n ) 这个的条件的个数 为

证明：令An 为其中可以接受的系列Bn 为不可接受的系列

那么 An + Bn = .An 是我们要求的，我们可以通过求出Bn来得到An 。

我们假设存在 一个最小的K 使得a1 + a2 +…+ak 为负，那么 可以肯定 a1+…+ak-1 = 0,且ak = -1.k 为奇整数。

对于每一种不符合条件的序列a1 + a2 +…+ak +…+a2n 将a1 a2 ak 都用-a1 –a2 –ak 代替，那么新的数列

a1’ a2’ … a2n’ 就有 n+1 个 +1 和 n-1 个 –1  。即每一种 不符合条件的 数列经过上述过程都将变为

  n+1 个 +1 和 n-1 个 –1   的排列 。那么现在要证明 n+1 个 +1 和 n-1 个 –1   的排列数 == Bn

n+1 个 +1 和 n-1 个 –1   的排列 肯定存在一个 最小的k 使得 a1 + a2 + …aK <  0   而将这部分也用-a1 –a2 –ak 代替 ，也就成为了 n个1 和n个-1 构成的2n项 a1,a2….a2n   而Bn的排列就好求了

 

==》 

应用： 有2n个人要去剧场，入场5角，有n个人有1元，n个人有5角，剧场的卖票处刚开始没有零钱，那么存在多少种队列方式。

粗体的证明 ，我感觉有些牵强，呵呵 大家有好的方法，请指正。

我独立博客地址 http://www.fuxiang90.me/?p=286