多重背包问题的单调队列优化

多重背包问题朴素时间复杂度为O(NMS)（这里S是所有物品的数量s之和），经过二进制优化后时间复杂度为O(NMlog2S)，这个复杂度已经能够应付大多数题了，但对于某些特别卡时间的题（比如N*M=10 ⁷的)，仍然会TLE。这时，可以用单调队列优化，时间复杂度降为O(NM)。

首先看一下多重背包问题的朴素转移方程：
F[i][j] = max{F[i-1][j-x*w[i]]+x*v[i]} (0<=x<=s[i], j>=x*w[i])
如果使用滚动数组，忽略i这一维，设w0=w[i]，v0=v[i]，s0=s[i]，得：
F[j] = max{F[j-x*w0]+x*v0} (0<=x<=s0, j>=x*w0)
看上去这和单调队列木有神马关系，因为决策下标（j-x*w0）不是一个整数区间，中间是有间隔的。然而可以发现，这个方程的限制条件“0<=x<=s0，j>=x*w0”，也就是x的下界是max{0, j/w0（下取整）}，当j单调递增时，这个下界也是单调递增的。这满足单调队列优化的条件中的“决策下标的下界单调”……不是，还不能这样说，因为这里的决策下标是j-x*w0，而不是x。
那么怎样才可以把决策下标变为x？

将决策下标按照模w0的余数进行分类，可以分成w0类，分别对应模w0余0、余1……余(w0-1)的情况。这时，上面方程中的所有决策下标j-x*w0都是同一类的。进一步，设q =j/w0（下取整），r=j%w0，则j=q*w0+r，对于某个决策下标j'，设k=(j'-r)/w0，即j'=k*w0+r。显然可以发现，k的取值范围是：k>=0且q-s0<=k<=q，也即k的下界是max{0, q-s0}——随j的单调而单调。
然后，转移方程可以改为（这里把r当成一个已知量了）：
F[q*w0+r] = max{F[k*w0+r]+(q-k)*v0} (k>=0且q-s0<=k<=q)
即F[q*w0+r]=max{F[k*w0+r]-k*v0}+q*v0 (k>=0且q-s0<=k<=q)
设G[k]=F[k*w0+r]得：
G[q]=max{G[k]-k*v0}+q*v0 (k>=0且q-s0<=k<=q)
这个方程已经可以使用单调队列来优化了！

这样可以得出算法：
（1）从1到n，枚举i，建立w[i]个空的单调队列，每个队列的元素都是两个int值：(k, val)，表示转换后下标和决策值(G[k]-k*v[i])；
（2）从0到m，枚举j，得出q、r的值，对于队列r：
【1】删去队首过时（k<q-m[i]）的元素；
【2】F[j]入队（这里的F[j]指上一阶段的F[j]，即F[i-1][j]。因此这一步操作一定要先进行），删去队尾所有决策值val不大于(F[j]-q*v[i])的元素。
【3】取出队首结点，其val值加上q*v[i]后即为本阶段F[j]的值。
最后F[m]即为结果。总时间复杂度为O(NM)。

其实这个是可以推广的，即对于如下形式的转移方程（其中H、G和W均为常量，B[i]为决策下标的下界，随i单调）：
F[i] = opt{F[i-x*H+W]}+G (B[i]<=i-x*H+W<i，x∈ N）
都可以用上述的办法进行转化，从而进行单调队列优化。