错排公式 ( ACM 数论 组合 )

 

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错排公式:

错排公式

目录
错排公式的由来
递推的方法推导错排公式
容斥原理
简化公式
 

错排公式的由来

　　pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？
　　这个问题推广一下，就是错排问题: n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。
递推的方法推导错排公式

　　当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n - 1 )就表示n - 1个编号元素放在n - 1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
　　第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n - 1种方法;
　　第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况. 1 ,把它放到位置n,那么,对于剩下的n - 2个元素,就有M(n - 2 )种方法; 2 ,不把它放到位置n,这时,对于这n - 1个元素,有M(n - 1 )种方法;
　　综上得到
　　M(n) = (n - 1 )[M(n - 2 ) + M(n - 1 )]
　　特殊地，M( 1 ) = 0 ,M( 2 ) = 1
　　下面通过这个递推关系推导通项公式:
　　为方便起见，设M(k) = k ! N(k), (k = 1 , 2 ,…,n)
　　则N( 1 ) = 0 ,N( 2 ) = 1 / 2
　　n >= 3时,n ! N(n) = (n - 1 )(n - 1 ) ! N(n - 1 ) + (n - 1 ) ! N(n - 2 )
　　即 nN(n) = (n - 1 )N(n - 1 ) + N(n - 2 )
　　于是有N(n) - N(n - 1 ) =- [N(n - 1 ) - N(n - 2 )] / n = ( - 1 / n)[ - 1 / (n - 1 )][ - 1 / (n - 2 )]…( - 1 / 3 )[N( 2 ) - N( 1 )] = ( - 1 ) ^ n / n !
　　因此
　　N(n - 1 ) - N(n - 2 ) = ( - 1 ) ^ (n - 1 ) / (n - 1 ) !
　　N( 2 ) - N( 1 ) = ( - 1 ) ^ 2 / 2 !
　　相加，可得
　　N(n) = ( - 1 ) ^ 2 / 2 !+ … + ( - 1 ) ^ (n - 1 ) / (n - 1 ) !+ ( - 1 ) ^ n / n !
　　因此
　　M(n) = n ! [( - 1 ) ^ 2 / 2 !+ … + ( - 1 ) ^ (n - 1 ) / (n - 1 ) !+ ( - 1 ) ^ n / n ! ]
　　可以得到
　　错排公式为M(n) = n ! ( 1 / 2 !- 1 / 3 !+ ….. + ( - 1 ) ^ n / n ! )
容斥原理

　　正整数1、 2 、 3 、……、n的全排列有n ! 种，其中第k位是k的排列有（n - 1 ) ! ，当k取1、 2 、 3 、……、n时，共有n * （n - 1 ) ! 种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
　　M(n) = n !- n !/ 1 !+ n !/ 2 !- n !/ 3 !+ … + ( - 1 ) ^ n * n !/ n != sigma(k = 2 ~ n) ( - 1 ) ^ k * n !/ k !
　　即M(n) = n ! [ 1 / 0 !- 1 / 1 !+ 1 / 2 !- 1 / 3 !+ 1 / 4 !+ .. + ( - 1 ) ^ n / n ! ]
　　注:sigma表示连加符号,(k = 2 ~ n)是连加的范围
简化公式

　　另外：书上的错排公式为Dn = n ! ( 1 / 0 !- 1 / 1 !+ 1 / 2 !- 1 / 3 !- .. + ( - 1 ) ^ n / n ! ),此公式算n很大时就很不方便．后来发现它可以化简为１个优美的式子Dn = [n !/ e + 0.5 ],[x]为取整函数．
　　公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e - 1的前项与之相同，然后作比较可得 / Dn - n ! e - 1 /< 1 / (n + 1 ) < 0.5 ,于是就得到这个简单而优美的公式（此仅供参考）