POJ 3164 最小树形图 朱刘算法

个人觉得这个博客把这个算法说的比较详细了，直接搬过来吧，我再阐述一遍的话没有人家说的好，还容易说错。
==========================分割线之下摘自 Sasuke_SCUT的blog==================================================
最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点root，求一棵以root为根的有向生成树T，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。
========================分割线之上摘自 Sasuke_SCUT的blog=====================================================

下面是朱刘算法的构造图


下面是POJ 3164的代码

POJ 3164
#include<iostream>
#include<cmath>
#define INF 1000000000
using namespace std;
double map[110][110];
bool visit[110],circle[110];
int pre[110];
int n,m;
struct PT
{
    double x,y;
}p[110];
double dist(int i,int j)
{
    return sqrt((p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y));
}
void dfs(int t)
{
    if(visit[t])
        return ;
    visit[t]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(map[t][i]<INF)
            dfs(i);
}
bool connect()//深搜，判断是否存在最小树形图 
{
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!visit[i])
            return 0;
    return 1;
}
double solve()
{
    double ans=0;
    int i,j,k;
    memset(circle,0,sizeof(circle));//如果某点被删掉，那么circle[i]=1 
    while(1)
    {
        for(i=2;i<=n;i++)//求出每个点的最小入边 
        {
            if(circle[i])
                continue;
            map[i][i]=INF;
            pre[i]=i;
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(circle[j])
                    continue;
                if(map[j][i]<map[pre[i]][i])
                    pre[i]=j;
            }
        }
        for(i=2;i<=n;i++)//遍历找环 
        {
            if(circle[i])
                continue;
            j=i;
            memset(visit,0,sizeof(visit));
            while(!visit[j]&&j!=1)
            {
                visit[j]=1;
                j=pre[j];
            }
            if(j==1)//j==1说明i不在环上 
                continue;
            i=j;//找到了环 
            ans+=map[pre[i]][i];
            for(j=pre[i];j!=i;j=pre[j])
            {
                ans+=map[pre[j]][j];
                circle[j]=1;//用环上一点i代表此环，其他点删去，即circle[j]=1 
            }
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(circle[j])
                    continue;
                if(map[j][i]<INF)
                    map[j][i]-=map[pre[i]][i];//更新j的入边 
            }
            for(j=pre[i];j!=i;j=pre[j])//环上所有点的最优边为人工顶点的边 
            {
                for(k=1;k<=n;k++)
                {
                    if(circle[k])
                        continue;
                    if(map[j][k]<INF)
                        map[i][k]=min(map[i][k],map[j][k]);
                    if(map[k][j]<INF)
                        map[k][i]=min(map[k][i],map[k][j]-map[pre[j]][j]);
                }
            }
            break;
        }
        if(i>n)
        {
            for(j=2;j<=n;j++)
            {
                if(circle[j])
                    continue;
                ans+=map[pre[j]][j];
            }
            break;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int i,j;
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                map[i][j]=INF;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            map[a][b]=dist(a,b);
        }
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        if(!connect())
            printf("poor snoopy\n");
        else printf("%.2lf\n",solve());
    }
        return 0;
}