Romberg求积(例程)

先介绍一下Romberg求积。
6.3　外推原理与Romberg求积

6.3.1　复合梯形公式递推化与节点加密

　　在计算机上用等距节点求积公式时，若精度不够可以逐步加密节点.设将区间分为n等分，节点，在区间上梯形公式为
　　　　　　　　　　　　　
若节点加密一倍，区间长为，记中点为在同一区间上的复合梯形公式惟
　　　　　　　　　　　　　
于是
　　　　　　　(6.3.1)
它表明是在的基础上再加新节点的函数值之和乘新区间长，而不必用(6.2.6)重新计算，这时有误差估计式
　　　　　　　　　　　　　
若，则得
　　　　　　　　　　　　(6.3.2)
它表明用，其误差近似.这也是在计算机上估计梯形公式误差的近似表达式.若(给定精度)，则.
　　若在区间［a,b］中做2n等分时，在上用Simpson公式计算，则由(6.2.8)可知
　　　
它恰好是(6.3.2)中I(f)的近似值，即

它表明用(6.3.2)计算I(f)，其精度已由提高到如果再将区间分半，使分为4个小区间，长度为，则可由(6.3.1)计算出及，利用复合公式余项(6.2.9)得
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
如果，则有
　　　　　　　　　　　　　　　(6.3.3)
从而有复合Simpson公式的误差估计
　　　　　　　　　
如果用(6.3.3)近似，即
　　　　　　　　　　　　　　　(6.3.4)
则精度可达到.类似做法还可继续下去.这样对区间逐次分半，利用公式(6.3.1)逐次递推.再由(6.3.2)，(6.3.3)逐次构造出精度愈来愈高的计算积分I(f)的公式，这就是Romberg求积的基本思想.

以下为我自己写的求积程序。

//  RombergIntegral.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include  < cmath >
#include  < iostream >
#include  < vector >
using   namespace  std;
const   double  PRECISION(. 000001 ); // 精度控制
const  unsigned  int  MAXK( 20 ); // 求解步骤控制
double  RombergIntegral( double  ( * f)( double  x), double  a,  double  b);
vector < vector < double >>  T; // 用于存储T表
double  f( double  x) // 要求的积分函数
{
     return  x * sin(x);
}
int  _tmain( int  argc, _TCHAR *  argv[])
{
    cout << " 本程序用于求解函数f(x)=x*sin(x)在0到6.28的积分 " << endl;
    cout << " 积分结果为： " << RombergIntegral(f, 0 , 6.28 ) << endl;
    cout << " 精度为 " << PRECISION << endl;
     return   0 ;
}

double  RombergIntegral( double  ( * f)( double  x), double  a,  double  b)
{
     int  k( 0 );
     double  h = b - a;
    vector < double >  temp;
    T.push_back(temp);
    T[ 0 ].push_back(h * (( * f)(a) + ( * f)(b)) / 2 );
     for (k = 1 ; 1 ; ++ k)
     {
        T.push_back(temp);
        T[ 0 ].push_back( 0.5 * T[ 0 ][k - 1 ]);
         for ( int  i = 0 ;i < pow( 2 .,k - 1 ); ++ i)
         {
            T[ 0 ][k] += 0.5 * h * (( * f)(a + h / 2 + i * h));
        }
         for ( int  i = 1 ;i <= k; ++ i)
            T[i].push_back((pow( 4 .,i) * T[i - 1 ].back() - T[i - 1 ][T[i - 1 ].size() - 2 ]) / (pow( 4 .,i) - 1 ));
        h /= 2 ;
         double  temp = T[k].back();
         if (fabs(T[k].front() - T[k - 1 ].front()) < PRECISION  ||   k == MAXK)  break ; // 到
    }
    
     return  T[k].back();
}

// 以上程序在vs2005+win2003下编译运行通过。