Dijkstra算法

Dijkstra算法是比较典型的最短路径算法，主要用来计算无向图中单源到其他所有节点的最短路径，且图中权值必须是非负权值。Dijkstra的主要特点是以源点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

然而，虽然Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

其算法描述如下：

(1)设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。

(2)初始化。初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为其他节点。源点到个节点的最短距离为连接源点和各节点的边值，若从源点到节点的路径不存在，则可假设该节点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。

(3)在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。
PS：
        根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
    　源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
        距离为：源点到红点n最短距离 + <红点n，蓝点k>边长
    　为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈ V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的“最短”路径长度（简称估计距离）。
    　若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k] = min{D[i] i∈V-S}，则D[k] = SD(k)。
    　初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<s，v>，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<s，v>。

(4)k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改。
PS：
        将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
    　对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=<s，…，k，j>。且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径<s，…，k>和边<k，j>组成。
    　所以，当length(P)=D[k]+w<k，j>小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。

(5)当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。

以下是Dijkstra算法的伪代码：

Dijkstra(G，D，s)
{
     // 以下是初始化操作
    S = {s};
    D[s] = 0 ;        // 设置初始的红点集及最短距离
     for (all i 属于 V - S ) do   // 对蓝点集中每个顶点i，设置i初始的估计距离为w<s，i>
        D[i] = G[s][i];
    
     // 以下是扩充红点集
     for  (i = 0 ;i < n - 1 ;i ++ )  do
    {
         // 最多扩充n-1个蓝点到红点集
        D[k] = min{D[i]：all i V - S}；  // 在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k

         if (D[k]等于∞)
             return ；  // 蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，表示这些顶点的最短路径不存在。

        S = S∪{k}；  // 将蓝点k涂红后扩充到红点集

         for (all j∈V - S) do     // 调整剩余蓝点的估计距离
        {
             if (D[j] > D[k] + G[k][j])
            {
                 // 新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，使j离s更近。
                D[j] = D[k] + G[k][j]；
            }
        }
    }
}