《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列（非矩阵法）

《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列（非矩阵法）

《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列

计算Fibonacci序列最直接的方法就是利用递推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通项公式来求解是错误的，用浮点数表示无理数本来就有误差，经过n次方后，当n相当大时，误差能足够大到影响浮点数转为整数时的精度，得到的结果根本不准。

用矩阵来计算，虽然时间复杂度降到O(log n)，但要用到矩阵类，相当麻烦。观察：

F(n+2)=F(n)+F(n-1)＝2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4)

用归纳法很容易证明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)，利用该递推公式和原递推公式，要计算F(n)，只要计算F([n/2])和F([n/2]+1)，时间复杂度为 O(lg n)。如：要计算F(58)，由 58 -> 29,30 -> 14,15 -> 7,8 -> 3,4 -> 1,2 可知只要算5次。可以用一个栈保存要计算的数，实际上，将n的最高位1（假设在第k位）左边的0去除掉后，第m次要计算的数是第k位到第k-m+1位这m个位组成的值t(m)，则第m-1次要计算的数为t(m-1)，且

t(m)=2*t(m-1)+(第k-m+1位是否为1)。

若第m-1次计算得到了f(k)和f(k+1)，则第m次计算：

 

第k-m+1位	已计算	待计算
1	f(k) f(k+1)	f(2*k+1),f(2*k+2)
0		f(2*k),f(2*k+1)

 

具体公式见下面代码。

下面是计算F(n)最后四位数（某道ACM题）的代码。

 

/*    Fibonacci数列第N个数的最后4位数
    注意，当 N>93 时 第N个数的值超过64位无符号整数可表示的范围。
F(n+2)=F(n)+F(n-1) F(0)=0 F(1)=1  F(2)=1        ==>
F(n)=F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)              ==>
F(2*n)=F(n+1)*F(n)+F(n)*F(n-1)=(F(n+1)+F(n-1))*F(n)=(F(n+1)*2-F(n))*F(n)
F(2*n+1)=F(n+1)*F(n+1)+F(n)*F(n)
F(2*n+2)=F(n+2)*F(n+1)+F(n+1)*F(n)=(F(n+2)+F(n))*F(n+1)=(F(n+1)+F(n)*2)*F(n+1)
  */

unsigned fib_last4( unsigned num)
{
   if  ( num  ==   0  )  return   0 ;
   const  unsigned M = 10000 ;
  unsigned ret = 1 ,next = 1 ,ret_ = ret;
  unsigned flag = 1 , tt = num;
   while  ( tt  >>=   1 ) flag  <<=   1 ;
   while  ( flag  >>=   1  ){
     if  ( num  &  flag ){
      ret_  =  ret  *  ret  +  next  *  next;
      next  =  (ret  +  ret  +  next)  *  next;
    }  else  {
       // 多加一个M，避免 2*next-ret是负数，造成结果不对
      ret_  =  (next  +  next  +  M  -  ret)  *  ret;
      next  =  ret  *  ret  +  next  *  next;
    }
    ret  =  ret_  %  M;
    next  =  next  %  M;
  }
   return  ret;
}