遗传算法系列 （2） 遗传算法中的数据结构和与之相关的一些数值算法

遗传算法系列 （2） 遗传算法中的数据结构和与之相关的一些数值算法

1. 遗传算法的数据结构

大致画了下数据结构的逻辑图，如下：




















参加生存竞争的整个群体称为种群(Population)，种群中所有参与进化的个体(Chromosome)的数量一般为一个定值，而每个个体可能含有多于一个基因(Gene)。

例如，求解一个Camel函数在区间-100<x,y<100上边的最小值:
f(x,y)=[4 - 2.1(x^2) + (x^3)/3](x^2) + xy +[-4 +4(y^2)](y^2)
这时候就需要两个基因，每个基因上限是100,下限是-100.

假设数值求解的精度为10^(-7)，那么对应的二进制编码长度N可以这样确定
(2^N)-1 >= [ 100 - ( -100 ) ] / [ 10^(-7) ]
于是，将一个十进制数字x转化为二进制
x' = [x- (-100)] * [(2^N) -1] / [ 100 - ( -100 ) ]
同样，也可以将一个二进制数字x'转化为十进制数字x

程序中，数据结构可以这样定义

 1  struct  Gene
 2  {
 3       long   double  Upper;                       // upper boundary of the value
 4       long   double  Lower;                       // lower boundary of the value
 5       long   double  Value;                       // decimal value of the gene
 6      std :: vector <   int   >  Binary_Array;       // binary form of the value
 7       long   double  Accuracy;                    // accuracy of the value
 8  };
 9 
10  struct  Chromosome
11  {
12      std :: vector <  Gene  >  Gene_Array;    // Gene[]
13       long   double  Fitness;                 // the weigh of the chromosome in ga
14  };
15 
16  struct  Population
17  {
18      std :: vector <  Chromosome  >  Chromosome_Array;    // Chromosome[]
19     
20       long   double  Mutation_Probability;                // probability of mutation
21       long   double  Crossover_Probability;               // probability of crossover
22  };

2. 与数据结构相关的基本算法

1） 基因的自动初始化 --在搜索区间中随机生成初始基因
     

 1  // generate random value
 2  void  initialize( Gene &  g)
 3  {
 4       const   long   double  Ran  =  ran();
 5       const   long   double  Upper  =  g.Upper;
 6       const   long   double  Lower  =  g.Lower;
 7       // const long double Accuracy = g.Accuracy;
 8      assert( Upper  >  Lower );
 9 
10      g.Value  =  Lower  +  Ran  *  ( Upper  -  Lower );
11  }
12 

2） 基因的二进制编码--将十进制数据编码为二进制

 1  // decimal value -> binary form
 2  void  encoding( Gene &  g )
 3  {
 4       const   long   double  Value  =  g.Value;
 5       const   long   double  Upper  =  g.Upper;
 6       const   long   double  Lower  =  g.Lower;
 7       const   long   double  Accuracy  =  g.Accuracy;
 8 
 9      unsigned  int  Size  =   1                         +
10      static_cast <  unsigned  int   >
11      (
12          log( ( Upper  -  Lower )  /  ( Accuracy ) )  /
13          log(  2.0  )
14      );
15 
16       if  ( Size  >   63  )
17          Size  =   63 ;
18 
19       const  unsigned  long   long  Max  =   1   <<  Size;
20 
21      unsigned  long   long  x  =
22      static_cast <  unsigned  long   long   >
23      (
24          static_cast <   long   double > ( Max  - 1  )      *
25          ( Value  -  Lower )                        /
26          ( Upper  -  Lower )
27      );
28 
29      std :: vector < int >  Binary_Array;
30 
31       for  ( unsigned  int  i  =   0 ; i  <=  Size;  ++ i )
32      {
33           if  ( x  &   1  )     // case odd
34          {
35              Binary_Array.push_back(  1  );
36          }
37           else              // case even
38          {
39              Binary_Array.push_back(  0  );
40          }
41          x  >>=   1 ;
42      }
43 
44      g.Binary_Array  =  Binary_Array;
45 
46  }
47 

3）二进制向十进制的解码--将二进制数据解码为十进制

 1  // binary form -> decimal value
 2  void  decoding( Gene &  g )
 3  {
 4       const  unsigned  int  Size  =  g.Binary_Array.size();
 5      assert( Size  >   0  );
 6 
 7       const   long   double  Upper  =  g.Upper;
 8       const   long   double  Lower  =  g.Lower;
 9       // const long double Accuracy = g.Accuracy;
10       const  std::vector < int >  Binary_Array  =  g.Binary_Array;
11 
12       const  unsigned  long   long  Max  =   1   <<  Size;
13      unsigned  long   long  x  =   0 ;
14 
15       for ( unsigned  int  i  =  Size; i  >   0 ;  -- i )
16      {
17          x  +=  Binary_Array[i - 1 ];
18          x  <<=   1 ;
19      }
20       // x += Binary_Array[0];
21 
22       const   long   double  Value  =  Lower          +
23          static_cast < long   double > ( x )        /
24          static_cast < long   double > ( Max  -   1  )  *
25          ( Upper  -  Lower );
26 
27      g.Value  =  Value;
28  }

4）普通二进制编码转到格雷码
多说一点，在进行二进制交叉的时候，使用格雷码比普通的二进制编码要有效一点。
例如，如果采用普通二进制编码，8可以表示为1000，而7则表示为0111，四个位都是不同的，7与8仅仅相差了1，但是普通二进制编码却相差了这么多，如果对他们进行交叉的话，出来的结果偏离7与8实在太远了，而使用格雷码则可以避免这种尴尬。
这里（http://baike.baidu.com/view/358724.htm）是百度一个有关格雷码的介绍，我就不复制了，有兴趣的话过去看看。

 1  // Normal Binary Form --> Gray Binary Form
 2  void  normal2gray( Gene &  g )
 3  {
 4       const  unsigned  int  Size  =  g.Binary_Array.size();
 5      assert( Size  >   0  );
 6 
 7      std :: vector < int >  G_Binary_Array;       // gray code
 8       const  std :: vector < int >  Binary_Array  =  g.Binary_Array;
 9 
10      G_Binary_Array.push_back( Binary_Array[ 0 ] );
11       for  ( unsigned  int  i  =   1 ; i  <  Size;  ++ i )
12      {
13          G_Binary_Array.push_back( ( Binary_Array[i - 1 ]  +  Binary_Array[i] )  &   1  );
14      }
15      g.Binary_Array  =  G_Binary_Array;
16  }
17 

5） 格雷码转换到普通二进制编码

 1  // Gray Binary Form --> Normal Binary Form
 2  void  normal2binary( Gene &  g )
 3  {
 4       const  unsigned  int  Size  =  g.Binary_Array.size();
 5      assert( Size  >   0  );
 6 
 7      std :: vector < int >  N_Binary_Array;   // Normal Binary Form
 8       const  std :: vector < int >  Binary_Array  =  g.Binary_Array;
 9 
10      unsigned  int  result  =   0 ;
11       for  ( unsigned  int  i  =   0 ; i  <  Size;  ++ i )
12      {
13          result  +=  Binary_Array[i];
14          N_Binary_Array.push_back( result  &   1  );
15      }
16 
17      g.Binary_Array  =  N_Binary_Array;
18  }
19 
20 

6） 进化种群初始化函数一 -- 生成进化个体

 1  void  initialize(    Population &  population,
 2                       const  unsigned  int  size
 3                  )
 4  {
 5      Chromosome *  chromosome  =   new  Chromosome;
 6 
 7      population.Generation  =   1 ;
 8 
 9       for  ( unsigned  int  i  =   0 ; i  <  size;  ++ i )
10      {
11 
12          population.Chromosome_Array.push_back(  * chromosome );
13      }
14 
15      delete chromosome;
16  }
17 

7） 进化种群初始化函数二 -- 对种群中的每个个体，初始化其基因
      如上边的Camel函数，因为里边有两个自变量需要搜索，那么需要调用这个函数两次，分别对应于x和y
       append_gene( p, 100, -100, 1E-7);
       append_gene( p, 100, -100, 1E-7);

 1  void  append_gene(   Population &  population,
 2                       const   long   double &  upper,
 3                       const   long   double &  lower,
 4                       const   long   double &  accuracy
 5                  )
 6  {
 7      assert( upper  >  lower );
 8      assert( accuracy  >   0  );
 9 
10      Gene *  gene  =   new  Gene;
11 
12      gene  ->  Upper  =  upper;
13      gene  ->  Lower  =  lower;
14      gene  ->  Accuracy  =  accuracy;
15 
16       const  unsigned  int  Size  =  population.Chromosome_Array.size();
17       for  ( unsigned  int  i  =   0 ; i  <  Size;  ++ i )
18      {
19          initialize(  * gene );
20          population.Chromosome_Array[i].Gene_Array.push_back(  * gene );
21      }
22 
23      delete gene;
24  }
25 

8） 搜寻最佳适应度个体 -- 进化到指定年代后，找出最佳个体

 1  const  std :: vector <   long   double   >  elite(  const  Population &  population )
 2  {
 3       const  unsigned  int  Size  =  population.Chromosome_Array.size();
 4      assert( Size  >   0  );
 5       long   double  max  =  population.Chromosome_Array[ 0 ].Fitness;
 6      unsigned  int  index  =   0 ;
 7       for  ( unsigned  int  i  =   1 ; i  <  Size;  ++ i )
 8      {
 9           if  ( population.Chromosome_Array[i].Fitness  >  max )
10          {
11              index  =  i;
12              max  =  population.Chromosome_Array[i].Fitness;
13          }
14      }
15 
16      std :: vector < long   double >  Elite;
17       const  unsigned  int  G_Size  =  population.Chromosome_Array[ 0 ].Gene_Array.size();
18       for  ( unsigned  int  i  =   0 ; i  <  G_Size;  ++ i )
19          Elite.push_back( population.Chromosome_Array[index].Gene_Array[i].Value );
20 
21       return  Elite;
22  }

9） 随机函数
由于遗传算法是一种随机搜索算法，执行的时候需要大量的随机数（记得之前搜索四个未知数，种群100个体，进化800代，大概整个运行过程用了10^10数量级的随机数），库里的随机数生成函数肯定不行。当前使用了一个Kruth推荐的（Kruth, D. E. 1997, Seminumerical Algorithms, vol2. $3）、基于相减方法的随机数生成算法，比基于线性同余方法的快一点。

 1  #include  < ctime >
 2 
 3  static   long   double  _ran(  int &  seed );
 4 
 5  long   double  ran()
 6  {
 7       static   int  seed  =  static_cast  <  unsigned  int   > ( time( NULL ) );
 8       return  _ran( seed );
 9  }
10 
11  static   long   double  _ran(  int &  seed )
12  {
13 
14       const   int  MBIG  =   1000000000 ;
15       const   int  MSEED  =   161803398 ;
16       const   int  MZ  =   0 ;
17       const   long   double  FAC  =   1 .0E - 9L ;
18 
19       static   int  inext, inextp;
20       static   long  ma[ 56 ];
21       static   int  iff  =   0 ;
22       long  mj, mk;
23       int  i, ii, k;
24 
25       if  ( seed  <   0   ||  iff  ==   0 )
26      {
27          iff  =   1 ;
28          mj  =  MSEED  -  (seed  <   0   ?   - seed : seed);
29          mj  %=  MBIG;
30          ma[ 55 ]  =  mj;
31          mk  =   1 ;
32           for  (i  =   1 ; i  <=   54 ; i ++ ) {
33              ii  =  ( 21   *  i)  %   55 ;
34              ma[ii]  =  mk;
35              mk  =  mj  -  mk;
36               if  (mk  <  MZ)
37                  mk  +=  MBIG;
38              mj  =  ma[ii];
39          }
40           for  (k  =   1 ; k  <=   4 ; k ++ )
41               for  (i  =   1 ; i  <=   55 ; i ++ )
42              {
43                  ma[i]  -=  ma[ 1   +  (i  +   30 )  %   55 ];
44                   if  (ma[i]  <  MZ)
45                      ma[i]  +=  MBIG;
46              }
47          inext  =   0 ;
48          inextp  =   31 ;
49          seed  =   1 ;
50      }
51       if  ( ++ inext  ==   56 )
52          inext  =   1 ;
53       if  ( ++ inextp  ==   56 )
54          inextp  =   1 ;
55      mj  =  ma[inext]  -  ma[inextp];
56       if  (mj  <  MZ)
57          mj  +=  MBIG;
58      ma[inext]  =  mj;
59       return  mj  *  FAC;
60  }
61 
62