二分查找 -- 来自编程珠玑

二分查找 -- 来自编程珠玑

     二分查找法（ Binary search algorithm）是一个很常见的算法，从＜编程珠玑＞里再次看到时又有新的收获。
     直接看代码吧，下面是常见的实现代码：
    

int  binary_search( int   * a,  int  num,  int  t)
{
     int  start  =   0 , end  =  num  -   1 ;
    
     while (end  >=  start){
         int  middle  =  (start  +  end)  /   2 ;
         int  tmp  =  a[middle];
         if (tmp  <  t){
            start  =  middle  +   1 ;
        } else   if (tmp  >  t){
            end  =  middle  -   1 ;
        } else {
             return  middle;
        }
    }

     return   - 1 ;
}   

      优化后的代码为（这个优化的思想也挺好的，不知道有没有一套系统的方法来思考出这个优化思路）：
     

int  binary_search( int   * a,  int  num,  int  t)
{
     int  low  =   - 1 , high  =  num  -   1 ;
    
     while (low  +   1   !=  high){
         int  middle  =  (low  +  high)  /   2 ;
         if (a[middle]  <  t){
            low  =  middle;
        } else {
            high  =  middle;
        }
    }
    
     if (a[high]  !=  t)
         return   - 1 ;
     else
         return  high;
}

 
     如果直接看这段代码，有可能不知道是怎么回事。但是运用书中提到的“ 程序验证”的方法后，原理就显而易见了，修改后的代码为：

 1  int  binary_search( int   * a,  int  num,  int  t)
 2  {
 3       int  low  =   - 1 , high  =  num  -   1 ;
 4      
 5       // invariant: low < high && a[low] < t && a[high] >= t
 6       while (low  +   1   !=  high){
 7           int  middle  =  (low  +  high)  /   2 ;  ＝＝＞   int middle = low + (high - low) / 2;   //防止溢出
 8           if (a[middle]  <  t){
 9              low  =  middle;
10          } else {
11              high  =  middle;
12          }
13      }    

14    //assert：　low +1 = high && a[low] < t && a[high] >= t

15    
16       if (a[high]  !=  t)
17           return   - 1 ;
18       else
19           return  high;
20  }
21 

      “程序验证” 的思想可以简述为：不管是验证一个函数，还是一条语句，一个控制结构（循环，if分支等），都可以采用两个断言（前置条件和后置条件）来达到这个目的。前置条件是在执行该处代码之前就应该成立的条件，后置条件的正确性在执行完该处代码后必须得到保证。（ps: 断言也算是一种验证的手段）

　　上面这段代码的原理是给定一段区间 (low, high] ，如果満足 a[low] < t  && a[high] >=t && high = low + 1，那么有两种情况存在：1. a[high] = t ; 2.与t相等的元素不存在。由于数组a 肯定满足条件a[low] < t  && a[high] >=t，所以该算法要做的就是把区间 (-1, num -1] 缩小到(low, low+1]。 　
      1. 在执行代码6~17行时， 始终保证 low < high && a[low] < t && a[high] >= t 成立。
　　2. 在执行完6~17行后，肯定滿足条件a[low] < t  && a[high] >=t && high = low + 1，因为循环退出的条件是 high = low + 1，而该循环始终保证 上面第１条。
　　经过这样的分析后，我们能对程序的正确性有更好的掌握，同时程序也更易理解。

参考：
　　１. 基本上摘自＜ 编程珠玑＞，很不错的一本书，让我对算法有了新的思考，以前只是看看算法导论如何实现的，没有思考该算法是如何想出来的，有没有更简单的算法（思考的过程类似刘未鹏的＜ 知其所以然（续）＞），要坚持这个思考过程需要很多功夫与时间，但效果也很明显，能对算法有更好的掌握。