本文内容框架：
§1 Skip List 介绍
§2 Skip List 定义以及构造步骤
§3 Skip List 完整实现
§4 Skip List 概率分析
§5 小结
§1 Skip List 介绍
Skip List是一种随机化的数据结构，基于并联的链表，其效率可比拟于二叉查找树（对于大多数操作需要O(log n)平均时间）。基本上，跳跃列表是对有序的链表增加上附加的前进链接，增加是以随机化的方式进行的，所以在列表中的查找可以快速的跳过部分列表(因此得名)。所有操作都以对数随机化的时间进行。Skip List可以很好解决有序链表查找特定值的困难。
§2 Skip List 定义以及构造步骤
Skip List定义
像下面这样（初中物理经常这样用，这里我也盗用下）：
一个跳表，应该具有以下特征：
- 一个跳表应该有几个层（level）组成；
- 跳表的第一层包含所有的元素；
- 每一层都是一个有序的链表；
- 如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
- 第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
- 在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
- Top指针指向最高层的第一个元素。
构建有序链表
的一个跳跃表如下：
Skip List构造步骤：
1、给定一个有序的链表。
2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法（随机）随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。
一、查找
目的：在跳跃表中查找一个元素x
在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：
1. 从最上层的链（Sh）的开头开始
2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较
(1) x=y 输出查询成功及相关信息
(2) x>y 从p向右移动到q的位置
(3) x<y 从p向下移动一格
3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败
二、插入
目的：向跳跃表中插入一个元素x
首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。
关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。
而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。
我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下：
产生一个0到1的随机数r r ← random()
如果r小于一个常数p，则执行方案A， if r<p then do A
否则，执行方案B else do B
初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。
我们来看一个例子：
假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4
步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置
步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构
三、删除
目的：从跳跃表中删除一个元素x
删除操作分为以下三个步骤：
在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
将该元素所在整列从表中删除
将多余的“空链”删除
§3 Skip List 完整实现
下面来定义跳表的数据结构（基于C）
首先是每个节点的数据结构
{
int key;
int value;
struct nodeStructure *forward[1];
}nodeStructure;
跳表的结构如下
typedef
struct skiplist
{
int level;
nodeStructure *header;
}skiplist;
下面是跳表的基本操作{
int level;
nodeStructure *header;
}skiplist;
首先是节点的创建
{
nodeStructure *ns=(nodeStructure *)malloc( sizeof(nodeStructure)+level* sizeof(nodeStructure*));
ns->key=key;
ns->value=value;
return ns;
}
列表的初始化
列表的初始化需要初始化头部，并使头部每层（根据事先定义的MAX_LEVEL）指向末尾（NULL）。
{
skiplist *sl=(skiplist *)malloc( sizeof(skiplist));
sl->level=0;
sl->header=createNode(MAX_LEVEL-1,0,0);
for( int i=0;i<MAX_LEVEL;i++)
{
sl->header->forward[i]=NULL;
}
return sl;
}
插入元素
插入元素的时候元素所占有的层数完全是随机的，通过随机算法产生
{
int k=1;
while (rand()%2)
k++;
k=(k<MAX_LEVEL)?k:MAX_LEVEL;
return k;
}
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p, *q = NULL;
p=sl->header;
int k=sl->level;
// 从最高层往下查找需要插入的位置
// 填充update
for( int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
// 不能插入相同的key
if(q&&q->key==key)
{
return false;
}
// 产生一个随机层数K
// 新建一个待插入节点q
// 一层一层插入
k=randomLevel();
// 更新跳表的level
if(k>(sl->level))
{
for( int i=sl->level; i < k; i++){
update[i] = sl->header;
}
sl->level=k;
}
q=createNode(k,key,value);
// 逐层更新节点的指针，和普通列表插入一样
for( int i=0;i<k;i++)
{
q->forward[i]=update[i]->forward[i];
update[i]->forward[i]=q;
}
return true;
}
删除节点
删除节点操作和插入差不多，找到每层需要删除的位置，删除时和操作普通链表完全一样。不过需要注意的是，如果该节点的level是最大的，则需要更新跳表的level。
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
// 从最高层开始搜
int k=sl->level;
for( int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
if(q&&q->key==key)
{
// 逐层删除，和普通列表删除一样
for( int i=0; i<sl->level; i++){
if(update[i]->forward[i]==q){
update[i]->forward[i]=q->forward[i];
}
}
free(q);
// 如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的
for( int i=sl->level-1; i >= 0; i--){
if(sl->header->forward[i]==NULL){
sl->level--;
}
}
return true;
}
else
return false;
}
查找
跳表的优点就是查找比普通链表快，当然查找操作已经包含在在插入和删除过程，实现起来比较简单。
{
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
// 从最高层开始搜
int k=sl->level;
for( int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<=key))
{
if(q->key==key)
{
return q->value;
}
p=q;
}
}
return NULL;
}
完整代码如下：
#include<stdlib.h>
#define MAX_LEVEL 10 // 最大层数
// 节点
typedef struct nodeStructure
{
int key;
int value;
struct nodeStructure *forward[1];
}nodeStructure;
// 跳表
typedef struct skiplist
{
int level;
nodeStructure *header;
}skiplist;
// 创建节点
nodeStructure* createNode( int level, int key, int value)
{
nodeStructure *ns=(nodeStructure *)malloc( sizeof(nodeStructure)+level* sizeof(nodeStructure*));
ns->key=key;
ns->value=value;
return ns;
}
// 初始化跳表
skiplist* createSkiplist()
{
skiplist *sl=(skiplist *)malloc( sizeof(skiplist));
sl->level=0;
sl->header=createNode(MAX_LEVEL-1,0,0);
for( int i=0;i<MAX_LEVEL;i++)
{
sl->header->forward[i]=NULL;
}
return sl;
}
// 随机产生层数
int randomLevel()
{
int k=1;
while (rand()%2)
k++;
k=(k<MAX_LEVEL)?k:MAX_LEVEL;
return k;
}
// 插入节点
bool insert(skiplist *sl, int key, int value)
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p, *q = NULL;
p=sl->header;
int k=sl->level;
// 从最高层往下查找需要插入的位置
// 填充update
for( int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
// 不能插入相同的key
if(q&&q->key==key)
{
return false;
}
// 产生一个随机层数K
// 新建一个待插入节点q
// 一层一层插入
k=randomLevel();
// 更新跳表的level
if(k>(sl->level))
{
for( int i=sl->level; i < k; i++){
update[i] = sl->header;
}
sl->level=k;
}
q=createNode(k,key,value);
// 逐层更新节点的指针，和普通列表插入一样
for( int i=0;i<k;i++)
{
q->forward[i]=update[i]->forward[i];
update[i]->forward[i]=q;
}
return true;
}
// 搜索指定key的value
int search(skiplist *sl, int key)
{
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
// 从最高层开始搜
int k=sl->level;
for( int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<=key))
{
if(q->key == key)
{
return q->value;
}
p=q;
}
}
return NULL;
}
// 删除指定的key
bool deleteSL(skiplist *sl, int key)
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
// 从最高层开始搜
int k=sl->level;
for( int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
if(q&&q->key==key)
{
// 逐层删除，和普通列表删除一样
for( int i=0; i<sl->level; i++){
if(update[i]->forward[i]==q){
update[i]->forward[i]=q->forward[i];
}
}
free(q);
// 如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的
for( int i=sl->level - 1; i >= 0; i--){
if(sl->header->forward[i]==NULL){
sl->level--;
}
}
return true;
}
else
return false;
}
void printSL(skiplist *sl)
{
// 从最高层开始打印
nodeStructure *p,*q=NULL;
// 从最高层开始搜
int k=sl->level;
for( int i=k-1; i >= 0; i--)
{
p=sl->header;
while(q=p->forward[i])
{
printf("%d -> ",p->value);
p=q;
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
int main()
{
skiplist *sl=createSkiplist();
for( int i=1;i<=19;i++)
{
insert(sl,i,i*2);
}
printSL(sl);
// 搜索
int i=search(sl,4);
printf("i=%d\n",i);
// 删除
bool b=deleteSL(sl,4);
if(b)
printf("删除成功\n");
printSL(sl);
system("pause");
return 0;
}
§5 小结
本篇博文已经详细讲解了Skip List数据结构的所有内容，应该可以有一个深入的了解。如果你有任何建议或者批评和补充，请留言指出，不胜感激，更多参考请移步互联网。
参考：
①Skip List: http://www.cs.auckland.ac.nz/software/AlgAnim/niemann/s_skl.htm
②Songeliu: http://www.spongeliu.com/63.html
③Shi Kai Lun ： http://yilee.info/skip-list.html
④Michael T. Goodrich Roberto Tamassia Algorithm Design Foundations, Analysis, and Internet Examples
⑤http://epaperpress.com/sortsearch/skl.html
转自： http://dsqiu.iteye.com/blog/1705530