Dijkstra算法（单源最短路径）
单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，
假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})
3.知道U=V，停止。
代码实现:
#include <iostream>
#include<stack>
#define M 100
#define N 100
using namespace std;
typedef struct node
{
int matrix[N][M]; // 邻接矩阵
int n; // 顶点数
int e; // 边数
}MGraph;
void DijkstraPath(MGraph g, int *dist, int *path, int v0) // v0表示源顶点
{
int i,j,k;
bool *visited=( bool *)malloc( sizeof( bool)*g.n);
for(i=0;i<g.n;i++) // 初始化
{
if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
{
dist[i]=g.matrix[v0][i];
path[i]=v0; // path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
}
else
{
dist[i]=INT_MAX; // 若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
path[i]=-1;
}
visited[i]= false;
path[v0]=v0;
dist[v0]=0;
}
visited[v0]= true;
for(i=1;i<g.n;i++) // 循环扩展n-1次
{
int min=INT_MAX;
int u;
for(j=0;j<g.n;j++) // 寻找未被扩展的权值最小的顶点
{
if(visited[j]== false&&dist[j]<min)
{
min=dist[j];
u=j;
}
}
visited[u]= true;
for(k=0;k<g.n;k++) // 更新dist数组的值和路径的值
{
if(visited[k]== false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
{
dist[k]=min+g.matrix[u][k];
path[k]=u;
}
}
}
}
void showPath( int *path, int v, int v0) // 打印最短路径上的各个顶点
{
stack< int> s;
int u=v;
while(v!=v0)
{
s.push(v);
v=path[v];
}
s.push(v);
while(!s.empty())
{
cout<<s.top()<<" ";
s.pop();
}
}
int main( int argc, char *argv[])
{
int n,e; // 表示输入的顶点数和边数
while(cin>>n>>e&&e!=0)
{
int i,j;
int s,t,w; // 表示存在一条边s->t,权值为w
MGraph g;
int v0;
int *dist=( int *)malloc( sizeof( int)*n);
int *path=( int *)malloc( sizeof( int)*n);
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<M;j++)
g.matrix[i][j]=0;
g.n=n;
g.e=e;
for(i=0;i<e;i++)
{
cin>>s>>t>>w;
g.matrix[s][t]=w;
}
cin>>v0; // 输入源顶点
DijkstraPath(g,dist,path,v0);
for(i=0;i<n;i++)
{
if(i!=v0)
{
showPath(path,i,v0);
cout<<dist[i]<<endl;
}
}
}
return 0;
}