霍纳法则(Horner Rule)

霍纳法则(Horner Rule)

霍纳法则(Horner Rule)，是一个比较常用的法则，但是网上关于这个的相关资料不是很多，我主要找到了两个。
1.http://blog.csdn.net/lwj1396/archive/2008/07/18/2669993.aspx

2.http://flynoi.blog.hexun.com/31272178_d.html
在第二篇文章里讲到了霍纳法则出现的原因：为多项式求值提供了一个高效的方法。
“对于多项式求值问题，我们最容易想到的算法是求出每一项的值然后把所求的值累加起来，这种算法的时间和空间效率都不高，对于数据规模不大的题目来说由于其直观、简单很容易被大家采纳，可一旦数据规模过大时，这种算法就显得无能为力了”

这个算是比较详细的霍纳法则概念了：
假设有n＋2个实数a0，a1，…，an,和x的序列，要对多项式Pn(x)= anxn ＋an－１xn－１＋…＋a１x＋a０求值，直接方法是对每一项分别求值，并把每一项求的值累加起来，这种方法十分低效，它需要进行n＋(n－1)＋…＋1＝n(n＋１)/2次乘法运算和n次加法运算。有没有更高效的算法呢?答案是肯定的。通过如下变换我们可以得到一种快得多的算法，即Pn(x)= anxn ＋an－１xn－１＋…＋a１x＋a０＝((…(((anx ＋an－１)x＋an－２)x+ an－3)…)x＋a1)x＋a０，这种求值的安排我们称为霍纳法则。

在这里我写了一个霍纳法则的小程序：

//  Author: Tanky Woo
//  blog: www.WuTianQi.com
#include  < iostream >
using   namespace  std;
 
//  Calculate the value of an*x^n + an-1*x^(n-1) +  a2*x^2 + a1*x + a0
double  HornerRule( double  a[],  int  n,  double  x);
 
int  main()
{
     double   * a;
     int  n;
     double  x;
 
    cout  <<   " Input the n (a0, a1, a2an):  " ;
    cin  >>  n;
 
    a  =   new   double [n + 1 ];
    cout  <<   " Input the a0, a1, a2, , an (n+1 numbers):  " ;
     for ( int  i = 0 ; i <= n;  ++ i)
        cin  >>  a[i];
 
    cout  <<   " Input the x:  " ;
    cin  >>  x;
 
     for ( int  i = n; i >= 0 ;  -- i)
    {
         if (i  !=  n)
            cout  <<   "  +  " ;
        cout  <<  a[i]  <<   " *x^ "   <<  i;
    }
    cout  <<   "  =  "   <<  HornerRule(a, n, x)  <<  endl;
 
     return   0 ;
}
 
 
double  HornerRule( double  a[],  int  n,  double  x)
{
     double  res  =   0.0 ;
 
     for ( int  i = n; i >= 0 ;  -- i)
        res  =  x * res  +  a[i];
 
     return  res;
}