uva 1169 - Robotruck (单调队列优化dp)

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题目大意

(LRJ《训练指南》)

有n个垃圾，第i个垃圾的坐标为(xi,yi)，重量为wi。有一个机器人，要按照编号从小到大的顺序捡起所有垃圾并扔进垃圾桶（垃圾桶在原点(0,0)）。机器人可以捡起几个垃圾以后一起扔掉，但任何时候其手中的垃圾总重量不能超过最大载重C。两点间的行走距离为曼哈顿距离（即横坐标之差的绝对值加上纵坐标之差的绝对值）。求出机器人行走的最短总路程（一开始，机器人在(0,0)处）。

【输入格式】

输入的第一行为数据组数。每组数据的第一行为最大承重C（1≤C≤100）；第二行为正整数n（1≤n≤100 000），即垃圾的数量；以下n行每行为两个非负整数x, y和一个正整数w，即坐标和重量（重量保证不超过C）。

【输出格式】

对于每组数据，输出总路径的最短长度。

思路

方法一：

sumDis[i], 表示从0->1->2->....->i，即从0一直走到i个总距离
sumWeight[i], 表示前i个垃圾的总重量

假设要捡(j, i)这区间内的垃圾, 
令w(j,i) = sumWeight[i] - sumWeight[j-1]; 表示(j,i)区间垃圾的总重量

机器人的走路路径为：0->j->j+1->..->i->0,这段路的总距离为:
routeDist(j, i) = getDis(0, j) + sumDis[i] - sumDis[j] + getDis(0, i)

设f(i)表示捡完前i个垃圾走的最短距离，那么可得到状态转移
f(i) = min{ f(j-1) + routeDist(j, i),  1<=j<=i && sumWeight[i]-sumWeight[j-1] >= C }

代码一   

方法二：优先队列优化

上面方程式的完整表达为：

f(i) = min{ f(j-1) + getDis(0, j) + sumDis[i] - sumDis[j] + getDis(i, 0)   |  1<=j<=i && sumWeight[i]-sumWeight[j-1] >= C }

通过移项，可以转化为：

f(i) = min{ f(j-1) + getDis(0, j) - sumDis[j] |  1<=j<=i && sumWeight[i]-sumWeight[j-1] >= C } + sumDis[i] + getDis(i, 0)

为了让表达式更简介易懂，令

另func(j) = f(j-1) + getDis(0,j) - sumDis[j]) .

然后方程式为：

f(i) = min{ func(j)  |  1<=j<=i && w(j,i)<=C} + sumDis[i] - getDis(0, i);

要让f(i)最小，只需要让func(j)最小即可。

所以我们可以维护一个j，使func(j)最小

这就是用到了单调队列来优化了。

单调队列方法的代码：