[最长上升子序列 nlogn] PKU 1631 Bridging signals

[最长上升子序列 nlogn] PKU 1631 Bridging signals

问题:
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1631

思路:
题意理解清楚，其实就是找出最长上升子序列
这里采用O(nlogn)的算法，类似于贪心的原理，关键是要理解辅助数组aux[]的含义，aux[len]所代表的是组成长度为len的最长上升子序列的尾元素的最小值

下面的内容转自:  http://blog.csdn.net/ottoCho/archive/2009/12/02/4927262.aspx
O(n*log n)算法分析如下：

设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。 

现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足 
(1)x < y < t  (这里应该错了，如果x<y<t成立，那么F[y]>=F[x]+1，不可能有(3)成立，这里应该是y<x<t) [by simplyzhao, 2010-10-19]
(2)A[x] < A[y] < A[t] 
(3)F[x] = F[y] 
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？ 
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。 
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。 

注意到D[]的两个特点： 
(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。 
(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。 

利 用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有A [t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。 

在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

代码:

 1  /*  O(nlogn) algorithm: the longest increasing sub-sequence [LIS]  */
 2  #include < stdio.h >
 3  #include < stdlib.h >
 4  #include < string .h >
 5  #define  MAX_LEN 40001
 6  int  num[MAX_LEN];
 7  int  aux[MAX_LEN];
 8  int  size, rt_len;
 9 
10  int
11  dp()
12  {
13       int  i, left, right, mid;
14      rt_len  =   1 ;
15      aux[rt_len]  =  num[ 0 ];
16       for (i = 1 ; i < size; i ++ ) {
17           if (num[i]  >  aux[rt_len]) {
18               ++ rt_len;
19              aux[rt_len]  =  num[i];
20          }  else  {
21               /*  binary search: O(logn)  */
22              left  =   1 ;
23              right  =  rt_len;
24               while (left  <=  right) {
25                  mid  =  (left + right) / 2 ;
26                   if (num[i] > aux[mid])
27                      left  =  mid + 1 ;
28                   else
29                      right  =  mid - 1 ;
30              }
31              aux[left]  =  num[i];
32          }
33      }
34       return  rt_len;
35  }
36 
37  int
38  main( int  argc,  char   ** argv)
39  {
40       int  i, tests;
41      scanf( " %d " ,  & tests);
42       while (tests -- ) {
43          scanf( " %d " ,  & size);
44           for (i = 0 ; i < size; i ++ )
45              scanf( " %d " , num + i);
46          printf( " %d\n " , dp());
47      }
48  }