单源最短路系列4

单源最短路系列4

本篇作为最短路系列的扩展，讲如何用图论知识对差分约束系统进行建模并求解。

1. 线性规划问题(Linear Program)
    假设给定了一个m×n矩阵A，列向量x跟b，线性规划问题可以描述为在约束
    下求解向量
    使得目标函数最大。其中未知量的数目为n，约束数目为m。

2.差分约束系统
   所谓差分约束系统是线性规划的一种特殊情况，其中矩阵A的每一行分别有一个1跟-1其余元素为0。每个约束都形如

  

3.如何用最短路算法求解差分约束系统

   首先构造约束图(Constraint Graph)   

   

   其中边上的权值为

   。

   下面的定理说明，可以用Bellman-Ford算法来求解差分约束系统。

Theorem 1  设差分约束系统对应的约束图为G=(V,E)。若该图无负权的环，则差分约束系统的一个可行解为。若该图有由源可待的带负权的环，则该系统无可行解。

Proof 由于带权有向图最短路若有解，则解



符合三角不等式

，即。

因此x是该系统的一个可行解。
若约束图存在由源可达的带负权的环，不失一般性，设该回路为

。

用反证法，若该图有解，则有满足



将上面式子相加，左边为0，右边为该回路的权值小于0，得到0<0，矛盾。

下面给出一个程序。该程序输入变量数目、约束数目以及具体的约束。若有解则输出解，否则报错。

 1  #include  < iostream >
 2  #define MAXN  200
 3  #define INF  0xfffffff
 4 
 5  using namespace std;
 6 
 7  int  list[MAXN][MAXN][ 2 ];         //  图的链接表存储
 8  int  deg[MAXN];                     //  每个顶点的出度
 9  int  delta[MAXN];                 //  最终存储最短路的距离
10  int  trace[MAXN];                 //  trace[i]表示s到i的最短路i的前驱
11  int  n,e;                             //  顶点数
12 
13  void  initialize_single_source()
14  {
15       int  i;
16       for (i = 1 ;i <= n;i ++ ) delta[i] = INF;
17      trace[i] =- 1 ;
18  }
19 
20  void  relax( int  a, int  b)
21  {
22       if (delta[list[a][b][ 0 ]] > delta[a] + list[a][b][ 1 ])
23          delta[list[a][b][ 0 ]] = delta[a] + list[a][b][ 1 ];
24      trace[list[a][b][ 0 ]] = a;
25  }
26 
27  bool checkNegtiveCycle()
28  {
29       int  i,j,k;
30       for (i = 0 ;i <= n;i ++ )
31      {
32           for (j = 0 ;j < deg[i];j ++ )
33          {
34               if (delta[list[i][j][ 0 ]] > delta[i] + list[i][j][ 1 ])  return   false ;
35          }
36      }
37       return   true ;
38  }
39 
40  bool bellman_ford()
41  {
42       int  i,j,k;
43       for (i = 1 ;i < n;i ++ )
44      {
45           for (j = 0 ;j <= n;j ++ )
46          {
47               for (k = 0 ;k < deg[j];k ++ )
48              {
49                   //  这里j跟k的含义不同：j是顶点编号，k是第j个顶点的第k条边
50                  relax(j,k);
51              }
52          }
53      }
54       return  checkNegtiveCycle();
55  }
56 
57 
58 
59  void  printSolution()
60  {
61       int  i;
62       for (i = 1 ;i <= n;i ++ ) printf( " x_{%d}=%d\n " ,i,delta[i]);
63       return ;
64  }
65 
66  int  main()
67  {
68       int  i,j,k,u,v,b;
69       //  输入未知量的个数
70      printf( " Enter the number of unknowns: " );
71      scanf( " %d " , & n);
72       //  输入约束数
73      printf( " Enter the number of constrains: " );
74      scanf( " %d " , & e);
75       //  输入约束
76      printf( " Enter constrains in the format of xi(-)xj(<=)bk\n " );
77       for (i = 1 ;i <= e;i ++ ) deg[i] = 0 ;
78       for (i = 1 ;i <= e;i ++ )
79      {
80          scanf( " %d%d%d " , & v, & u, & b);
81          list[u][deg[u]][ 0 ] = v;
82          list[u][deg[u]][ 1 ] = b;
83          deg[u] ++ ;
84      }
85       //  添加新的顶点
86      deg[ 0 ] = n;
87       for (i = 0 ;i < n;i ++ )
88      {
89          list[ 0 ][i][ 0 ] = i + 1 ;
90          list[ 0 ][i][ 1 ] = 0 ;
91      }
92       if (bellman_ford()){printSolution();}
93       else  printf( " no solution.\n " );
94       return   1 ;
95  }