1000 的阶乘有几位数? - 后续, 求解

这是在 2006 年 11 月 17 日浏览小百合时得到的，当时上不来，就暂存在我的信箱里了。

南京大学小百合站，Algorithm 版，x->18->1 和 x->18-2。

x->18->1:(两处红色标记是我个人加上的，怀疑原文有误 ，即若有 10 和 100，则前面不应有 90 和 1800)

令结果为 x
x=log2+log3+...+log9
  +90+log1.1+log1.2+...+log9.9
  +1800+log1.01+log1.02+...+log9 .99
  +3
 =∫logx dx (从2到10)
  +90+ 10∫logx dx(从1.1到9.9)
  +1800+ 100∫logx dx (从1.01到9.99)
  +3
 = ...
后两次积分上限的不同是考虑到修正

x->18->2:

x=(∫log(x)dx(2--1001)+∫log(x )dx(1--1000))/2
 =((x*log(x)-∫xdlog(x))(2- -1001)+(x*log(x)-∫xdlog(x))(1- --1000))/2
 =2567.857000.....

我个人的想法：

经过上述两个方法，我猜想求解一个数的位数可以求解该数对其基数的 对数（此处是以 10 为基数的），找了几个数写了写，发现可以：

一个以 b 为基数的数 N，在以 b 为基数的计数系统中的位数 l，可以通过求 N 对 b 的对数求得。
具体为：l=floor[log b (N) + 1]，即求对数，结果加 1 后向下取整。

例如：

• length(123456789)10=floor[lg(123456789)+1]=floor[8.091514977+1 ]=9
• length(100000000)10=floor[lg(100000000)+1]=floor[8+1]=9
• length(10101)2=floor[log 2 (23) + 1]=floor[4.523561956+1]=5  (10101)2=(23)10
  

再回到求解 1000 的阶乘的位数上，则根据上面的说明，有：(设 1000 的阶乘结果为 N)

length(N)10=floor[lg(N)+1]
           =floor[lg(1*2*3*...*999*1000) +1]
           =floor[lg1+lg2+lg3+...+lg999 +lg1000+1]
           =floor[lg2+lg3+...lg999+lg1000 +1]    <= lg1=0

这时问题转到了求解 lg2+lg3+...+lg999+lg1000 的累加上面。

对于这一方面我不是很清楚(高等数学基本都不记得了...) ，不过根据前面两篇文章，好像有：

∑(N=2..1000)lgN = ∫lgxdx (x=2..1000)

如果成立的话，则根据 lgx = lnx/ln10 有：

∫lgxdx (x=2..1000) = (1/ln10)*∫lnxdx (x=2..1000)

                   = (1/ln10)*[x*lnx - ∫xd(lnx)] (x=2..1000)

                   = (1/ln10)*[x*lnx - ∫dx] (x=2..1000)

                   = (1/ln10)*[x*lnx - x] (x=2..1000)

                   = x*(lnx - 1)/ln10 (x=2..1000)

然后由牛顿-莱伯尼茨公式可以得到：(也不知道是否能在此处应用 ...)

∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 2*(ln2 - 1)/ln10

                   = [1000*(6.907755279 - 1) - 2*(0.693147181 - 1)]/ln10

                   = [1000* 5.907755279 - 2*(-0.306852819)]/2.302585093

                   = [5907.755279 - (- 0.613705639)]/2.302585093

                   = 5908.368984639/2.302585093

                   = 2565.97204707

将结果代回前面的式子：

length(N)10 = floor[2565.97204707 + 1] = 2566

原先通过 Python 计算过 1000 的阶乘，位数为 2568 位。

考虑前面推算的过程中把 x=1 时 lg1 略掉了，理论上不应产生区别，但若要是不略掉该项时，则结果变成：

∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 1*(ln1 - 1)/ln10

                   = [1000*( 6.907755279 - 1) - 1*(0 - 1)]/ln10

                   = [1000*5.907755279 - 1*(-1)]/2.302585093
                   = [5907.755279 + 1]/2.302585093

                   = 5908.755279/2.302585093

                   = 2566.13981258

length(N)10 = floor[2566.13981258 + 1] = 2567

可见结果略有不同，但都与正确结果有一点小偏差，个人认为思路是正 确的，方法还有待改进。同时看到第二篇引文的结果非常接近 ，不过我还不理解，还需在琢磨琢磨。

还要再好好看看高等数学...

 

Comments

#1楼 

蔡晖 [未注册用户]

把求lgN(N=2.3.4....1000)转换为积分，这个思路就有误差吧。
积分是连续的，而这里的N是离散的，所以这里的转换不合理。

Posted @ 2007-04-18 09:25     回复   引用   查看    

#2楼 

wqx [未注册用户]

你红字加的内容不对，不应该乘10和100；
楼上的说的也不对，把不可直接求职的离散转为积分是基本的方法，只要误差允许接受就可以，具体可以看CLRS的附录A

Posted @ 2007-04-24 10:07     回复   引用   查看    

#3楼  [ 楼主]

ScorpioLove       

谢谢各位回复，同时希望能原谅我不能及时的回复各位。

@ 蔡晖

事实上这个问题，我在计算前也考虑过，确实有误差，不过就像 wqx 说的，只要误差可接受就可以了，像这里的误差相对于实际结果而言是比较小的，可以接受。

@ wqx

关于红字部分，我在算式前面的括号里注明了，10 和 100 是原来算式里就有的，但我觉得不该加，所以就用红色标记了一下，可能导致你误以为是我强调要加上的...

关于 CLRS，我目前正在读，不过感觉好难啊，好多课后题都不会...
如果可能，希望能和你交流一下^_^。

Posted @ 2007-04-24 13:26     回复   引用   查看    

#4楼 

foobar       

居然看到了牛顿莱布尼茨公式。。。。。

Posted @ 2007-09-18 17:53     回复   引用   查看   

posted on 2008-06-26 14:22 c++ 学习 阅读(1161) 评论(0)   编辑  收藏 引用 所属分类: 算法