汉诺塔与二进制

汉诺塔与二进制

　　最近看C算法，在讲到分治的时候，果然又看到了分治必讲的汉诺塔问题，不过书里同时又讲到了汉诺塔与二进制的关系，我觉得很有意思。

　　汉诺塔（Hanoi）问题想必大家都很熟悉，玩过这个游戏的也不在少数，N个盘的汉诺塔最少能用2^N-1次移动完成，用递归的方法，很容易写出一个求最优移动方法的程序：

     
     
     
     

      
      
      
      
      1 
      
      
      
      void Hanoi(
      
      
      
      int N, 
      
      
      
      int A, 
      
      
      
      int B, 
      
      
      
      int C)
      
      
      
      

      
      
      
      2 {
      
      
      
      

      
      
      
      3     
      
      
      
      if (N == 0) 
      
      
      
      return;
      
      
      
      

      
      
      
      4     Hanoi(N – 1, A, C, B);
      
      
      
      

      
      
      
      5     printf(“%d-->%d\n”, A, C);
      
      
      
      

      
      
      
      6     Hanoi(N – 1, B, A, C);
      
      
      
      

      
      
      
      7 }
     
     
     
     

　　下面我们要研究的是每次移动的规律。可以看到，这个程序的递归调用是对称的，每次递归中有两个递归调用，且每次调用求解问题的规模是一样的，下面我们以N=3为例画出这个递归调用的递归树如下：

　　最右边一列方框就是程序的输出，如果我们按照圆盘的大小给圆盘加上编号，如最小的盘为1号，最大的盘为N号，那么最右面的那一列数字就是每次移动的圆盘，从上至下就是移动的顺序。在这个例子中就是先将1号盘从A柱移动到C柱，再把2号盘从A柱移动到B柱……

　　观察这个序列1，2，1，3，1，2，1，可以发现1每隔一个数字就出现一次，那其它的数字呢，有什么规律？

　　为了搞清这个问题，我们先看另一个问题，假设有一把可以折起来的尺子，我们想将他分成2^N等分，怎么分呢？2等分自然是对折，4等分就是再对折，那么2^N等分自然就是对折N次，在折痕处画一条线，尺子就被2^N等分了。

　　我们换一种方式，首先在尺子的1/2处画一条长为N的线，把尺子分为左边和右边，再分别在左边的1/2和右边的1/2处各画一条长为N-1的线，如此进行下去，每隔尺子的1/2ⁱ长度就画一条长为N-i+1的线，那么最后，每隔尺子的1/2^N长度画一条长为1的线，画出来的结果如下图所示（N=5）：

　　这个问题同样可以使用递归来解决：

     
     
     
     

      
      
      
      
       1 
      
      
      
      void Draw(
      
      
      
      int N, 
      
      
      
      int l, 
      
      
      
      int r)
      
      
      
      

      
      
      
       2 {
      
      
      
      

      
      
      
       3     
      
      
      
      int m = (l + r) / 2;
      
      
      
      

      
      
      
       4     
      
      
      
      if (N > 0)
      
      
      
      

      
      
      
       5     {
      
      
      
      

      
      
      
       6         Draw(N – 1, l, m);
      
      
      
      

      
      
      
       7         printf(“%d\n”, N);
      
      
      
      

      
      
      
       8         Draw(N – 1, m, r);
      
      
      
      

      
      
      
       9     }
      
      
      
      

      
      
      
      10 }
     
     
     
     

　　注意到，这个递归调用也是对称的，而且每次递归的规模都与汉诺塔相同，那么他的递归调用是否跟汉诺塔一样呢？同样以N=3为例画出递归树：

　　我们发现，他们的递归树确实是一样的，连右边的序列都是一样的。这是因为他们的递归结构相同，每次递归的规摸也是一样，因此这两个问题的本质是一样的。尺子上的刻度的长度序列就是汉诺塔移动圆盘的序列！

　　那么这个序列到底有什么规律呢？尺子每次都是对折，也就是长度除以2，是否和2进制有关？以上面我们画出的那个N=3的尺子为例，我们把从1开始的二进制数写出来，看看有没有对应关系：　　　　　　　

　　　　　　　　0001

　　　　　　　　0010                   1

　　　　　　　　0011

　　　　　　　　0100                   2

　　　　　　　　0101

　　　　　　　　0110                   1

　　　　　　　　0111

　　　　　　　　1000                   3

　　　　　　　　1001

　　　　　　　　1010                  1

　　　　　　　　1011

　　　　　　　　1100                  2

　　　　　　　　1101

　　　　　　　　1110                  1

　　　　　　　　1111

　　

　　发现了吗？这个序列的第i个数就等于2*i这个数的二进制末尾0的个数！

　　如果还不太确定，可以把这个序列继续写下去，你会发现确实是这样的，而且这个序列中，1每隔1个数字就出现一次。想想我们在玩汉诺塔的时候，每一步其实只有两种选择：一是把最小的那个盘（因为他总在最上面）移动到别的杆上，二就是把某个杆上的第一个盘移动到另一个杆上（目标杆的盘必须比他大）。那么其实我们每隔一步就会移动一次最小的那个盘，这就对应了这个隔一个数字出现一次的1。

　　这是为什么呢？我也不太清楚……

　　总之，有了这个规律，我们就不用写递归程序了，只要把所有的偶数从小到大排开，计算他们末尾二进制的0的个数，我们就知道要移动哪个盘了。

 

　　另外，这里是对于传统的汉诺塔，即3杆汉诺塔。那么4杆呢？5杆呢？N杆呢？对于N>3的情况，现在还没有一个确定的表达式可以计算出最少需要多少步，但是有一个递推公式。k杆汉诺塔问题即有n个圆盘，k个杆，圆盘初始在第一个杆上，要将圆盘移动到最后一个杆上。

　　因为在最优解中，肯定会先将m个（1<=m<=n-1)个圆盘移动到某个中间杆上，再将剩下的n-m个圆盘通过剩下的k-1个杆移动到目标杆上，最后再将m个圆盘移动到目标杆上，因此有

　　f(n,k)=min{2*f(m,k)+f(n-m,k-1)}, 1<=m<=n-1