本栏目(机器学习)下机器学习基石专题是个人对Coursera公开课机器学习基石(2014)的学习心得与笔记。所有内容均来自Coursera公开课Machine Learning Foundations中Hsuan-Tien Lin林轩田老师的讲解。(https://class.coursera.org/ntumlone-002/lecture)
第9讲-------Linear Regression
从这一节开始,开始涉及到How Can Machines Learn的问题了。
一、Linear Regression问题
例如,信用卡额度预测问题:特征是用户的信息(年龄,性别,年薪,当前债务,...),我们要预测可以给该客户多大的信用额度。 这样的问题就是回归问题。目标值y 是实数空间R。线性回归的假设hypothesis如下图所示:
线性回归假设的思想是:寻找这样的直线/平面/超平面,使得输入数据的残差最小。通常采用的error measure 是squared error:
从机器学习的角度来说,我们就会看两个东西:E_in(h)和E_out(h)。如果相信VC bound的推导是对的,挥挥手的方式说VC bound延伸到其他的问题也会是对的。那么我们只剩下一个问题,只需要使得E_in(h)越小越好,就可能做到机器学习的效果。
二、Linear Regression算法
接上面的问题,如何求到一个w,使得E_in(h)最小。为了将来操作上符号看起来更简洁(没有n的index在里面),将squared error 表示为矩阵形式Matrix Form:
E_in(w) 是连续可微的凸函数,可以通过偏微分求极值的方法来求参数向量w。
令上式等于0,即可以得到向量w。
上面分两种情况来求解w。当X^T▪X(X 的转置乘以X) 可逆时,可以通过矩阵运算直接求得w;不可逆时,直观来看情况就没这么简单。
实际上,无论哪种情况,我们都可以很容易得到结果。因为许多现成的机器学习/数学库帮我们处理好了这个问题,只要我们直接调用相应的计算函数即可。有些库中把这种广义求逆矩阵运算成为 pseudo-inverse。
三、Linear Regression是Learning Algorithm吗?
乍一看,Linear Regression “不算是”机器学习算法,更像是分析型方法,而且我们有确定的公式来求解w,没有看出它学习提高的过程。实际上,线性回归属于机器学习算法:
(1) 对E_in 进行优化。
(2)得到E_out 约等于 Ein。
(3)本质上还是迭代提高的,pseudo-inverse 内部实际是迭代进行的。
接下来,我们试图求一下E_in,E_out 的平均范围,会比求解VC bound更为简单。
N维的空间里,y是在N维空间里的向量,那么我要做预测也就是y_hat = X▪w,w做的事情就是把X的每一个column作线性组合,X的每一个column也是一个N维的向量。也就是说,X拿出每个column可以展开成在N维度里面一个小的空间,然后y_hat会在这个空间里面。Linear Regression要做什么?希望y与y_hat的差别越小越好,也就是y - y_hat垂直于这个小空间的时候。所以,H这个矩阵的作用就是把任何一个向量y投影到X所展开的那个空间里;I-H的作用就是求解任何一个向量y对于X所展开的空间的余数。
trace(I - H)的物理意义:我们原来有一个n个自由度的向量,现在我们将其投影到d+1维的空间(因为X有d+1个向量展开),然后取余数,剩下的自由度最多就是N - (d + 1)。
注意到E_in算的是y - y_hat,即垂直于平面的距离。而另一个角度来说,y可以认为是真实的f(X) + noise的向量,我们会发现将noise投影在平面上求解的垂直于平面的距离实际上也就是y - y_hat。也就是说,我们现在要求解的E_in其实就是把I - H这个线性的变换用在noise上面。于是就可以得到E_in的平均范围,E_out 平均范围的求解会相对复杂这里省略。
通过E_in和E_out的式子通常就,可以画出一个图通常叫做学习曲线。所以,所谓的generalization error也就是E_in与E_out的差距,平均来说就是2(d+1)/N。如果还记得的话,在有d+1个自由度时,VC bound最坏情况下是d+1。所以Linear regression的学习真的已经发生了。
四、Linear regression与Linear classification
那讲完了Linear regression,那与之前讲的Linear classification线性分类有什么异同呢?
那能否直接用Linear regression来解分类问题就好?听起来有点道理。之所以能够通过线程回归的方法来进行二值分类,是由于回归的squared error 是分类的0/1 error 的上界,我们通过优化squared error,一定程度上也能得到不错的分类结果;或者,更好的选择是,将回归方法得到的w 作为二值分类模型的初始w 值。
第10讲-------Logistic Regression
上一讲是关于线性回归,重点是求解w 的解析方案(通过pseudo-inverse 求解w)。
一、Logistic Regression问题
有一组病人的数据,我们需要预测他们在一段时间后患上心脏病的“可能性”,就是我们要考虑的问题。通过二值分类,我们仅仅能够预测病人是否会患上心脏病,不同于此的是,现在我们还关心患病的可能性,即 f(x) = P(+1|x),取值范围是区间 [0,1]。
然而,我们能够获取的训练数据却与二值分类完全一样,x 是病人的基本属性,y 是+1(患心脏病)或 -1(没有患心脏病)。输入数据并没有告诉我们有关“概率” 的信息。在二值分类中,我们通过w*x 得到一个"score" 后,通过取符号运算sign 来预测y 是+1 或 -1。而对于当前问题,我们如同能够将这个score 映射到[0,1] 区间,问题似乎就迎刃而解了。
Logistic regression选择的映射函数是S型的sigmoid 函数。sigmoid 函数: f(s) = 1 / (1 + exp(-s)), s 取值范围是整个实数域, f(x) 单调递增,0 <= f(x) <= 1。于是,我们有:
二、Logistic Regression的Error Function
那么,对于上面的hypothesis,如何定义E_in(h)呢?回顾一下,linear classification的error function是0/1错误;linear regression是squared error。Logistic regression 的目标是f(x) = P(+1|x):当y = +1 时, P(y|x) = f(x);当y = -1 时, P(y|x) = 1 - f(x)。
在机器学习假设中,数据集D 是由f 产生的,我们可以按照这个思路,考虑f 和假设 h 生成训练数据D的概率是多少?首先要产生x1,概率是P(x1),然后产生y1,概率是P(y1 | x1)。
如何想要h与f很接近的话,那么h产生数据D的可能性与f真正产生这些数据的可能性就会很接近,训练数据的客观存在的,显然越有可能生成该数据集的假设越好。也就是h产生数据D的可能性是最高的。logistic hypothesis有一个数学上的特性:1 -h(x) = h(-x)。所以likelihood(h) 就可以化简为如下图所示,其中灰色的P(x)是一系列的常数。所以,likelihood(logistic h) 正比于如下的连乘。
我们想要这个likelihood(logistic h) 尽量的大。通过一些列简单转换,我们得到最终的优化目标函数:
注意上图中"cross-entropy error" 的定义,point-wise的error function。
三、LR Error的梯度
我们已经推导完了E_in(h),接下来的事情就是想办法找到w使得E_in(h)是最小的。幸运的是,LR的这个函数是convex的。求解最小值就是找到谷底梯度为0的地方。
想要上式等于零,一种情况是sigmoid 项恒为0,也就是所有的ywx >> 0,这时要求数据时线性可分的(不能有噪音)。否则,需要迭代优化。回忆一下之前revised PLA求解超平面直观的优化方法:
四、梯度下降法
梯度下降法是最经典、最常见的优化方法之一。要寻找目标函数曲线的波谷,采用贪心法:想象一个小人站在半山腰,他朝哪个方向跨一步,可以使他距离谷底更近(位置更低),就朝这个方向前进。这个方向可以通过微分得到。选择足够小的一段曲线,可以将这段看做直线段,那么有:
这样就把一个非线性的优化问题利用泰勒展开,变成了一个线性的问题,在η够小的时候。
所以,我们真正要要求解的是v乘上梯度如何才能越小越好。也就是v与梯度是完全的相反方向。想象一下:如果一条直线的斜率k>0,说明向右是上升的方向,应该向左走;反之,斜率k<0,向右走。
解决的方向问题,步幅η也很重要。步子太小的话,速度太慢;过大的话,容易发生抖动,可能到不了谷底。显然,距离谷底较远(位置较高)时,步幅大些比较好;接近谷底时,步幅小些比较好(以免跨过界)。距离谷底的远近可以通过梯度(斜率)的数值大小间接反映,接近谷底时,坡度会减小。因此,我们希望步幅与梯度数值大小正相关。原式子可以改写为:
最后,完整的Logistic Regression Algorithm:
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