平面中N个点相关问题

平面中N个点相关问题

问题一：求N个点中斜率最大的两个点。
要解决该问题，我们首先证明一个结论：三个点a、b、c，若x _a < x _b < x _c则斜率最大者必定是 ab或者是 bc，而不会是 ac。证明如下：
我们用k表示斜率，
不妨假设k _ac > k _ab，即(y _c - y _a)/(x _c - x _a) - (y _b - y _a)/(x _b - x _a) > 0
则可以推出x _a * y _b + x _b * y _c + x _c * y _a > x _a * y _c + x _b * y _a + x _c * y _b
那么可以得出k _bc - k _ac = (y _c - y _b)/(x _c - x _b) - (y _c - y _a)/(x _c - x _a)  = (x _a * y _b + x _b * y _c + x _c * y _a) - (x _a * y _c + x _b * y _a + x _c * y _b) > 0
所以可以知道如果ac斜率大于ab，那么它就不可能大于bc
同理可以得出若ac斜率大于bc，那么它就不可能大于ab
证毕。
有了上面的证明，我们就可以先对N个点的横坐标排序，然后再计算a[i]与a[i + 1]的斜率，取最大值即可。
代码略。

问题二：求N个点中距离最远的两点距离。
典型的求凸包直径问题，这里先讲解一下如何利用Graham scanning方法在O(nlogn)时间内求凸包，然后利用旋转卡壳法在O(n)时间内求凸包直径。
该问题面试中一般不会问到，太过复杂，不过应该学习这种思想。
1）Graham scanning求凸包：
首先：选取N个点中y坐标最小的点为P ₀，若有多个点y坐标相同，则取x坐标最小的点为P ₀，即P ₀为坐标系中左下角的点。
然后：根据direction(P ₀, P _i, P _j)来排序，direction()函数是求P ₀P _i向量和P ₀P _j向量的叉积，叉积的作用是判定P ₀P _i向量在P ₀P _j向量的逆时针方向还是顺时针方向，如果P ₀P _i X P ₀P _j > 0则说明P ₀P _i在P ₀P _j的顺时针方向，否则在逆时针方向。另外叉积的值的绝对值还表示以P ₀P _iP _j三点组成的三角形的面积，因为P ₀P _i X P ₀P _j = |P ₀P _i| * |P ₀P _j| * sin ∠P _iP ₀P _j，这个结论会在卡壳时用到。有了上面的知识，可以知道排序后的结果是所有节点围绕P ₀以逆时针方向排列。
再次：将点P ₀和点P ₁入栈，然后从P ₂到P _n循环执行下面操作：若direction(P _{stack[top - 1]}, P _stack[top], P _i) < 0，则删除栈顶元素，即top--（因为排序的时候，如果两个节点对P ₀的向量叉积若相等，则距离P ₀远的节点排在后面，所以这里如果上述等式等于0的话则可以肯定P _i到P _{stack[top - 1]}的距离比P _stack[top]到P _{stack[top - 1]}的距离远，所以可以直接将P _stack[top]出栈，当然也可以不出栈，因为某个在凸包多边形的某条边上的点，可以算作凸包的点，也可以去掉），否则P _i进栈。直到P _n判断完毕。
最后：栈stack中的所有点就是凸包多边形的点，并且从栈底到栈顶以逆时针排列。
上面算法表述的比较罗嗦，看下面的图示就明白了：
首先是排序，然后是P ₀和P ₁入栈：



然后是判断P ₂是否应该入栈：



因为P ₀P ₁ X P ₀P ₂ > 0，所以P ₂入栈：



然后判断P ₃是否应该入栈：



因为P ₁P ₂ X P ₁P ₃ < 0，所以P ₂出栈P ₃入栈：



判断P ₄是否应该入栈：



因为P ₁P ₃ X P ₁P ₄ > 0，所以P ₄入栈：



判断P ₅是否应该入栈：



因为P ₃P ₄ X P ₃P ₅ > 0，所以P ₅入栈：



判断P ₆是否应该入栈：



因为P ₄P ₅ X P ₄P ₆ < 0，所以p ₅出栈P ₆入栈：



最后p7入栈，形成最终的凸包：



通过以上图示过程可以清晰明白凸包的构建过程。证明过程比较复杂，详见《算法导论》。