高斯消元法解方程组求整数解

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using namespace std;

const int maxn = 105;

 

int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.

int a[maxn][maxn];

int x[maxn]; // 解集.

bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.

int free_num;

 

void Debug(void)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < equ; i++)
    {
        for (j = 0; j < var + 1; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
//------------------------------------
inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while (b != 0)
    {
        t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

inline int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Gauss(void)
{
    int i, j, k;
    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
         int col; // 当前处理的列.
    int ta, tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;
    // 转换为阶梯阵.
    col = 0; // 当前处理的列.
    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
    { // 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r = k;
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        {
            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
        }
        if (max_r != k)
        { // 与第k行交换.
            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
        }
        if (a[k][col] == 0)

        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--; continue;
        }

        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        { // 枚举要删去的行.
            if (a[i][col] != 0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
                for (j = col; j < var + 1; j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
                }
            }
        }
    }
    Debug();
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {

            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.

            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.

            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.

            for (j = 0; j < var; j++)

            {

                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;

            }

            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.

            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.

            temp = a[i][var];

            for (j = 0; j < var; j++)

            {

                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];

            }

            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.

            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.

        }

        return var - k; // 自由变元有var - k个.

    }

    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.

    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.

    for (i = var - 1; i >= 0; i--)

    {

        temp = a[i][var];

        for (j = i + 1; j < var; j++)

        {

            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];

        }

        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.

        x[i] = temp / a[i][i];

    }

return 0;

}

 

int main(void)
{
    freopen("Input.txt", "r", stdin);
    int i, j;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
   memset(x, 0, sizeof(x));
   memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
//        Debug();
        free_num = Gauss();
        if (free_num == -1) printf("无解!\n");
   else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}