次小生成树

次小生成树一定是最小生成树里去掉一条边，再加上另一条边构成的。假设加入边(u,v)那么MST一定形成环，那么就需要去掉环中最大权值的边。

我们也可以在求最小生成树的时候预先求出u到v最短路径上的最大权值，思路是MST每次加入一个新的节点v，那么已经在MST中的节点u到v的最短路径上的最大权值一定等于

max(f[j][pre[v]],g[pre[v]][v]);，pre[v]表示v的父节点，因为u到v一定需要经过v的父节点，这样问题就解决了。

下面是POJ1679的题解：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <ctime>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 105;
const int INF = 1 << 30;

int n,m;
int ans1,ans2,vis[N],dis[N],pre[N];//pre[]用来记录父亲节点
int f[N][N],use[N][N],g[N][N];

int prim()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        dis[i] = INF;
        vis[i] = 0;
        pre[i] = -1;
    }
    for(int i = 1; i <= n ; i ++) dis[i] = g[1][i],pre[i] = 1;//初始化父亲节点
    dis[1] = 0;
    vis[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)
    {
        int tmp = INF;
        int v;
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
        {
            if(!vis[j] && dis[j] < tmp)
            {
                tmp = dis[j];
                v = j;
            }
        }
        if(pre[v] != -1)
        {
            use[pre[v]][v] = use[v][pre[v]] = 2;//表示该边在最小生成树上
            for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
            {
                //对于刚刚加入生成树的节点，以在树中的节点j到新节点v之间最短路径上的最大权值
                //肯定要经过pre[v]
                if(vis[j])
                    f[j][v] = max(f[j][pre[v]],g[pre[v]][v]);
            }
        }
        vis[v] = 1;
        ans1 += dis[v];
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
        {
            if(!vis[j] && g[v][j] < dis[j])
            {
                dis[j] = g[v][j];
                pre[j] = v;
            }
        }
    }
    return ans1;
}

int second_prim()
{
    ans2 = INF;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
        {
            if(use[i][j] == 1)//枚举不在最小生成树中的边
            {
                if(ans1 + g[i][j] - f[i][j] < ans2)//加入边（i,j）去掉环中最大权值f[i,j]
                 ans2 = ans1 + g[i][j] - f[i][j];
            }
        }
    }
    return ans2;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d",&n,&m);
        memset(use,0,sizeof(use));
        memset(g,0,sizeof(g));
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        {
            for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
                g[i][j] = INF;
        }
        ans1 = ans2 = 0;
        while(m--)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
            g[u][v] = g[v][u] = w;
            use[u][v] = use[v][u] = 1;//表示该条边存在
        }

        prim();
        second_prim();
        if(ans1 == ans2) puts("Not Unique!");
        else printf("%d\n",ans1);
    }
    return 0;
}