最大子矩阵 动态规划DP

最大和

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难度: 5
描述

给定一个由整数组成二维矩阵(r*c),现在需要找出它的一个子矩阵,使得这个子矩阵内的所有元素之和最大,并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 
例子:
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 
其最大子矩阵为:

9 2 
-4 1 
-1 8 
其元素总和为15。 

输入
第一行输入一个整数n(0<n<=100),表示有n组测试数据;
每组测试数据:
第一行有两个的整数r,c(0<r,c<=100),r、c分别代表矩阵的行和列;
随后有r行,每行有c个整数;
输出
输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。
样例输入
1
4 4
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 
样例输出
15

题目一开始算时间复杂度暴力是10^7多,不到10^8。然后就暴力来了,当时想法很简单对应每一个d[i][j],以这个点为左上角,遍历所有可能形成的矩阵,一共是(100-i)*(100-j)个,然后就内存超了……再之后想降低空间,d[i][j]的一个矩阵就与前一个有关,空间也就开成了d[100][100][100][4],然后TLE了……找到对应的dp算法后发现这是一个求一维数组中最大连续数列的变形。想想看可以暴力求出每行的所有可能,再根据每列做dp运算。

一、暴力求行的,然后dp求列

       实现的过程中,数组给我干蒙了……绝对的蒙圈了,一直wa,然后有话完过了一个再回来改了改才过的。我想可能是三层遍历的条件还有里面的下标没有弄明白的原因……

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
#include<iostream>
#define MAX(a,b) a>b?a:b;
using namespace std;
int d[101][101][3][101];
int main()
{
	int n,i,j,k,t,max;
	int p,q;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d%d",&p,&q);
		for(i=0;i<p;i++)
		for(j=0;j<q;j++)
		for(k=0;k<p;k++)
		for(t=0;t<3;t++)
		d[i][j][t][k]=0;
		for(i=0;i<p;i++)
		for(j=0;j<q;j++)
		{
			scanf("%d",&d[i][j][0][0]);
			if(i==0&&j==0)
				max=d[i][j][0][0];
			else
				max=MAX(max,d[i][j][0][0]);
		}
		for(i=0;i<p;i++)//这个循环里面也有点蒙圈……
		for(j=0;j<q;j++)
		for(k=0;k+j<q;k++)
		{//if(k==0)cout<<endl;
			if(k==0)
				d[i][j][1][k]=d[i][j][0][0];
			else
				d[i][j][1][k]=d[i][j][1][k-1]+d[i][j+k][0][0];
			max=MAX(max,d[i][j][1][k]);
			//cout<<d[i][j][1][k]<<' ';
		}
		
		for(j=0;j<q;j++)//好像是这个位置一开始条件错了……
		for(i=0;i+j<q;i++)
		for(k=0;k<p;k++)
		{//if(!k)cout<<endl;
			if(k==0)
				d[0][i][2][j]=d[0][i][1][j];
			else
				d[k][i][2][j]=MAX(d[k][i][1][j],d[k-1][i][2][j]+d[k][i][1][j]);
			max=MAX(max,d[k][i][2][j]);
			//cout<<d[k][i][2][j]<<' ';		
		}
		printf("%d\n",max);
	}
return 0;
}


最后还是过了……


时间有点慢空间也挺大……

二、对每行求前i个数的和f[i],然后遍历f[i]-f[j]的每种情况,在列的方向上dp求解……这个代码不那么乱,我也就没那么迷糊了,很快就A了……

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
#include<iostream>
#define MAX(a,b) a>b?a:b;
using namespace std;
int d[101][101],f[101][101],a[101];
int main()
{
	int n,i,j,k,t,max;
	int p,q;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d%d",&p,&q);
		for(i=0;i<p;i++)
		for(j=0;j<q;j++)
		{
			scanf("%d",&d[i][j]);
			if(i==0&&j==0)
				max=d[i][j];
			else
				max=MAX(max,d[i][j]);
		}
		t=0;
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(i=0;i<p;i++)
		for(j=0;j<q;j++)
		{
			if(j==0)
				f[i][1]=d[i][0];
			else
				f[i][j+1]=f[i][j]+d[i][j];
			max=MAX(max,f[i][j+1]);
		}
		for(j=0;j<q;j++)
		for(i=j+1;i<=q;i++)
		{
			memset(a,0,sizeof(a));
			for(k=0;k<p;k++)
			{
				if(k!=0)
				{	
					a[k]=MAX(a[k-1]+f[k][i]-f[k][j],f[k][i]-f[k][j]);
				}
				else
					a[k]=f[k][i]-f[k][j];
				max=MAX(max,a[k]);
			}
		}
		printf("%d\n",max);
	}
return 0;
}


个人感觉跟那个完全不是一个级别的……

PS:从昨天晚上开始做的,昨天晚上各种TLE,今天白天各种WA,下午3点才A,共耗时接近10个小时,坑爹啊……算法是硬伤……








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