HDU 4311&2 Meeting point-1&2（曼哈顿距离&&切比雪夫距离）
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题意：
平面上有n个点，定义两点间的距离D为 |x1-x2| + |y1-y2|。从n个点中找到一点，使其他点到此点的距离之和最小。
解题思路：
令点k为找到的点，ans = sum{D(i,k)} (i:1~n) 。即ans是一堆含有绝对值的式子相加，那么，有没有好的方法可以快速求出这些带绝对值的式子呢？
由于式中的x与y之间互不影响，则我们将x和y分开考虑，先考虑x。
初中时，我们便知，若是想去掉绝对值符号，必须知道式子的正负。
而当k确定时，ans中只存在两种x，即小于x(k)与大于x(k)的，不如我们把它们分别称为集合A与集合B。
则ans = ans(A) + ans(B)。
而经过简单变形可知 ans(A) = x(k)*num(A) - sum(x(i)) (i∈A) , ans(B) = sum(x(j)) - x(k)*num(B) (j∈B) .
则我们可以通过先对x排序，记录下num(A)与sum(x(i)) (i∈A)这两个就好了。而对于B集合，可以看做A在全集中的补集。
对y的处理同上。
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
struct Num
{
int x,y,id;
}A[N];
__int64 sumx[N],sumy[N];
__int64 Sx,Sy;
int numx[N],numy[N];
int n,x[N],y[N];
bool cmp1(Num s1,Num s2)
{
return s1.x < s2.x;
}
bool cmp2(Num s1,Num s2)
{
return s1.y < s2.y;
}
__int64 resx(int k)
{
return (__int64)x[k]*(2*numx[k]-n) + Sx - 2*sumx[k];
}
__int64 resy(int k)
{
return (__int64)y[k]*(2*numy[k]-n) + Sy - 2*sumy[k];
}
int main()
{
//freopen("in.ads","r",stdin);
int z;
scanf("%d",&z);
while(z--)
{
Sx = Sy = 0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
A[i].id = i;
A[i].x = x[i];
A[i].y = y[i];
Sx += x[i];
Sy += y[i];
}
sort(A+1,A+1+n,cmp1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sumx[ A[i].id ] = sumx[ A[i-1].id ] + A[i].x;
numx[ A[i].id ] = i;
}
sort(A+1,A+1+n,cmp2);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sumy[ A[i].id ] = sumy[ A[i-1].id ] + A[i].y;
numy[ A[i].id ] = i;
}
__int64 ans = resx(1) + resy(1);
for(int k=2;k<=n;k++)
ans = min(ans,resx(k)+resy(k));
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
写完后感觉其实可以简化下。
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
struct Num
{
int x,y,id;
}A[N];
__int64 sumx[N],sumy[N];
__int64 Sx,Sy;
int n,x[N],y[N];
bool cmp1(Num s1,Num s2)
{
return s1.x < s2.x;
}
bool cmp2(Num s1,Num s2)
{
return s1.y < s2.y;
}
int main()
{
//freopen("in.ads","r",stdin);
int z;
scanf("%d",&z);
while(z--)
{
Sx = Sy = 0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
A[i].id = i;
A[i].x = x[i];
A[i].y = y[i];
Sx += x[i];
Sy += y[i];
}
sort(A+1,A+1+n,cmp1);
__int64 ssum = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ssum += A[i].x;
int j = A[i].id;
sumx[j] = (__int64)x[j]*(2*i-n) + Sx - 2*ssum;
}
sort(A+1,A+1+n,cmp2);
ssum = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ssum += A[i].y;
int j = A[i].id;
sumy[j] = (__int64)y[j]*(2*i-n) + Sy - 2*ssum;
}
__int64 ans = sumx[1] + sumy[1];
for(int k=2;k<=n;k++)
ans = min(ans,sumx[k]+sumy[k]);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
原来1题中的这种距离 |x1-x2| + |y1-y2|是曼哈顿距离（Manhattan Distance）。
2题中的这种距离 max(|x1-x2|, |y1-y2|)是切比雪夫距离（Chebyshev distance）。
对于原坐标系中两点间的 Chebyshev 距离，是将坐标轴顺时针旋转45度并将所有点的坐标值放大sqrt(2)倍所得到的新坐标系中的Manhattan距离的二分之一。
证明如下：
假设有两点(x1,y1), (x2,y2)，不妨设 x1>x2。
则Chebyshev距离 D1 = max(|x1-x2|, |y1-y2|)
这两个点对应到新坐标系中的坐标为 (x1-y1, x1+y1), (x2-y2, x2+y2)
某点绕原点逆时针旋转α°（或坐标轴顺时针旋转）后，点(x,y)的坐标会变为(cosα x - sinα y , sinα x + cosα y)。
则Manhattan 距离D2 = |x1-y1-x2+y2| + |x1+y1-x2-y2|
分四种情况讨论：
1.1 y1>y2 && x1-x2>y1-y2
D1 = max(x1-x2, y1-y2) = x1 - x2
D2 = x1-y1-x2+y2 + x1+y1-x2-y2 = 2(x1-x2)
1.2 y1>y2 && x1-x2<=y1-y2
D1 = max(x1-x2,y1-y2) = y1-y2
D2 = -(x1-y1-x2+y2) + x1+y1-x2-y2 = 2(y1-y2)
2.1 y1<=y2 && x1-x2>y2-y1
D1 = max(x1-x2, y2-y1) = x1-x2
D2 = x1-y1-x2+y2 + x1+y1-x2-y2 = 2(x1-x2)
2.2 y1<=y2 && x1-x2<=y2-y1
D1 = max(x1-x2, y2-y1) = y2-y1
D2 = x1-y1-x2+y2 - (x1+y1-x2-y2) = 2(y2-y1)
于是，将Chebyshev距离形式转化成Manhattan距离的形式再求解即可。