高等数学（总结9-多重积分)

1)二重积分的性质：
A）



B)可加性

C)

D)如果f(x,y)<=φ(x,y)

E)M,m分别是f(x,y)的最大值和最小值:

F)积分中值定理

2)二次积分公式：注意积分形状，x,y可以调换。

3）极坐标也可以采用二次积分方法，有时候，将f(x,y)换成极坐标来积分，更为方便。

4）二重积分的换元法：



5）三重积分：
三重积分是体积的积分（在空间概念上，三维坐标体系），其计算方法也同样分为基于直角坐标系的三次积分法，基于极坐标积分法（这里与二重积分不同，还可以分为基于圆柱面和球面的积分方法）：

无论是二重积分还是三重积分，其本质都是先视其中一个轴为自变量，其它轴为常量来积分,因此，积分顺序是可以根据需要调换的。

虽然，积分的顺序可以调换，但积分中最重要的其实是确定顺序，一般的积分顺序是根据边界情况确定的，从定到变来进行。定的边界包括点，直线，平面，方体，而变的边界包括曲线，曲面，曲体等。

6）多重积分的应用：
A）求曲面的面积；

    参数形式下：

无论是二重积分还是三重积分，其本质都是先视其中一个轴为自变量，其它轴为常量来积分,因此，积分顺序是可以根据需要调换的。

虽然，积分的顺序可以调换，但积分中最重要的其实是确定顺序，一般的积分顺序是根据边界情况确定的，从定到变来进行。定的边界包括点，直线，平面，方体，而变的边界包括曲线，曲面，曲体等。

6）多重积分的应用：
A）求曲面的面积；

    参数形式下：





B)质心，转动惯量，引理。

7）参变量积分


α(x),β(x)都是x的函数，在定义域内α(x)<=β(x),则有：

(9)式就是莱布尼兹公式（注意右边是3项）。