排列组合专题之错排问题
1993年的全国高考试题一改以前数学高考“以知识立意”命题思路，开始明确提出“以能力立意”，这是数学高考改革的一项重要举措，高考数学命题更加注重了对能力和素质的考查，试题设计增加了应用性和能力型题目，其中的“贺卡问题”就属于这方面的一道好题。
贺卡问题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送的贺年卡，则四张不同的贺年卡不同的分配方式有：
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
这个问题的情境新颖，无法直接套用公式、法则，主要考查分类或分步计数原理或从反面考虑（排除法）的思想方法，考查分析问题与解决问题的能力，本题以组合数学中著名的“错排问题”为背景，用贴近学生身边生活的“贺卡”来设计问题，显得较恰当。其实，实际生活中的“错排问题”有多种多样，如信封中装错信件或坐错座位等等。
错排问题：有n个正整数1，2，3，……n，将这n个正整数重新排列，使其中的每一个数都不在原来的位置上，这种排列称为正整数1，2，3，……n的错排，问这n个正整数的排个数是多少？
设这n个正整数的错排个数为an，为了探求an的表达式，我们先从最特殊的情形入手。
当n=1时，由于只有一个数1，不可能有错排，所以a1=0.
当n=2时，两个数的错排是唯一的，所以a2=1.
当n=3时，三个数1、2、3只有2、3、1和3、1、2两种错排，所以a3=2.
当n=4时，四个数1、2、3、4的错排有：2、1、4、3；2、3、4、1；2、4、1、3；3、1、4、2；3、4、2、1；4、1、2、3；4、3、1、2；4、3、2、1，共有9种错排，所以a4=9.
刚才提到的93年高考试题——贺卡问题，实际上求的就是a4等于多少？
上面使用的是枚举法，当n较大时，这种方法是很麻烦的、难以解决问题的，必须另辟蹊径，现在考虑用排除法求出1、2、3、4这四个正整数的错排的种数，从中摸索出规律。
对于四个正整数1、2、3、4，这四个数的全排列数为4！。
有一个数不错排的情况应排除，由于1排在第1位的有3！种，2排在第2位的有3！种，……4排在第4位的有3！种，所以共应排除4×3！种。
然而在排除有一个数不错排的情况时，把同时有两个数不错排的情况也排除了，应予以补上，由于1、2分别排在第1、第2位上的情况共有2！种，同理1、3分别排在第1、第3位上的情况也有2！种，……，这四个数中同时有两个数不错排的情况共有种，所以应补上 种。
|
|
在排除同时有三个数不错排的情况时，把同时有四个数不错排的情况也排除了，所以应补上同时有四个数不错排的情况仅1、2、3、4这一种。
综上所述，
由 以及 ， ，我们猜想n个正整数1、2、3、4、……、n的错排的种数an的表达式为an= ，下面我们来证明这个表达式。
一般来说，正整数1、2、3、……、n的全排列有n！种，其中第k位是k的排列有（n-1）！，当k取1、2、3、……、n时，共有n×（n-1）！种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
，
，即 .
计数是一种常见的数学问题，涉及计数问题的另一种思路是运用递推方法，应该说，利用递推方法是解决计数问题的重要方法，下面我们再用递推关系求an的值。
由题意a1=0，a2=1，当n≥3时，在错排中n必不在第n位，设n放在第k位上（1≤k≤n-1），则第n位上有两种可能：
（1）如果第n位上不是k，那么把第n位看作第k位，将n以外的n－1个数进行错排，错排个数是an-1；
（2）如果第n位上是k，那么除n和k以外的n－2个数的错排是an-2，
所以n在第k位上的错排数共有an-1＋an-2，由于k可取1、2、3、4、……、n－1共n－1种取法，所以n个数的错排个数 ，其中n≥3.
下面我们来求数列{an}的通项。
为了方便起见，设 ,
则
即：
于是有 ，
从而可求 ，所以 。