环上的高斯消元问题
【问题描述】
高斯消元法适用的两种情况为域上的问题和环上的问题。域上的问题就是可以通过加减乘除把系数阵化简成为对角线全1的形式，是允许有除法的，一般用于浮点数的高斯消元。而环上的问题一般涉及整数以及取模，除法是不允许的，此外环上的问题一般都要涉及高斯消元的一个比较难处理的问题：无穷解问题。
【问题分析】
首先考虑比较简单的环上的问题：模2问题，这类问题的经典代表是开关灯问题。其实这类问题可以允许除法（用异或代替），每次消元的时候如果出现不确定的变量，那么跳过当前列，保持行不变，继续消元。当消元过后会出现的问题是，如果系数阵的秩小于增光矩阵的秩，那么无解；或者不是所有的变量都已经取值，导致这个的原因一个是消元时出现全0列，一个是系数阵的秩等于增光矩阵的秩且小于未知数的个数，也就是出现无穷解。在模2域上出现无穷解的时候只需枚举每个不确定变元的值（0或1），一般是用来找到一个最优解。这里一个比较巧妙的方法是保留消元过程的对角矩阵，这样一旦确定了未知数，直接回带找解，无需重新建立方程。
模n域上的无穷解问题更为复杂一些。一个是变元的取值范围变大了（0到n-1，某些问题取值还会是负的），另一个问题是由于模n未必是素数，如果是素数存在解就一定唯一，不是素数的话会出现多组解，还得继续枚举才行。以几个题目为例：
POJ 2947 Widget Factory：这是环上问题的基础版，考察了对于变元数和方程数不确定的时候对方程解数的判断方法。消元的过程还是很简单的，细节考虑清楚就可以了。
POJ 1395 Cog-Wheels：方程的建立很巧妙，由于数的范围很小（100以内），因此可以根据每个质因数的幂次建立方程！对每个轮子除以最小的那个数后就可以进行质因数分解，方程数很少；最后建立的是一个整系数方程。不过这里的问题是由于存在无穷解的情况，要搜索；而且变量的取值范围不太好把握，我是取增广阵的所有系数的最大值max，把枚举的界定在了|max|以内，有点像扩展欧几里德的思想，如果有x、y满足ax + by = d，那么x上下浮动b个，y上下浮动a个依然方程成立。另外注意的是建立方程的时候会产生齐次方程，要特别判断一下。总而言之这个题目写起来很恶心，复杂度感觉巨高，但是实际运行速度很快。
POJ 2055 Kid's Problem：这个题目BT程度又进了一步，是个模线性方程组，不仅可能存在无穷解，而且模不一定是素数，对于确定的变元取值也会很多，总之就是各种搜索。不过这个题目很无聊的一点是在消元过程中，之前我一直是取要消元的两个系数的最小公倍数，分别放大然后再减去，就像分数通分的做法，做其他的题目都没有问题（因为没有影响解的情况）；但是这个题目这样居然会超时，当然不是超时在高斯消元的过程，而是之后枚举的过程。这个题目必须利用那种类似求gcd的方法，两个方程互相减来减去，因为这个题目数据取值范围太小了（20以内），因此这样做的复杂度也不高。这两种做法的唯一区别就是后者消元后的对角阵中，主对角线的系数很小（减来减去减得很小），而用“通分”的方法系数会保留为原系数（可能很大），虽然最后计算的结果完全相同，但是可能后者能够快速得到一个好的可行解，利用这个剪掉了不少冗余情况，而前者也许差了一些，就超时了。
Ural 1561 Winnie the Pooh：应该是高斯消元问题的终极版本了，考察的是对高斯消元的理解（不过没有在方程的建立上设置太多的坎）。这个题目可以归结为包含若干操作的动态高斯消元问题：添加一个变元，添加一个方程，询问给定方程解的情况。因为不是询问方程组的解，而是询问方程的解，这样的话有可能虽然有多组解但是最后对应方程的值是相同的。我一开始采用枚举方程的取值判断有解的方法，超时了；后来改成出现不确定解的时候搜索判断解的情况，依然超时。这两种方法的复杂度都达到O(n ^ 3)以上，所以需要好的办法。仔细思考之后发现，如果方程有解且唯一，那么它一定和已经存在的方程组（看成是向量）是线性相关的，这样的话可以每次添加方程都维护对角阵，对于一次询问，利用已有的方程组依次对给定的方程消元，到最后判断这个方程的系数是否全0，如果是的话解个模方程就行了，如果不是的话说明这个方程的取值会有很多种情况。每次添加方程都判断是否产生矛盾（无解），如果无解以后不再判断，一直输出无解。利用这种方式可以很快的处理查询，每次复杂度才O(n ^ 2)。
【问题总结】
环上的高斯消元问题应用比较广泛，但是编码的复杂度也比较高。此外，不同的题目往往要求各异，因此也没有统一的模板，需要根据题目的要求来编写程序。通过以上几个题目的练习，对于高斯消元的求解已经没有太大的问题了。但是题目中方程的建立以及优化求解依然是难点，需要不断地积累和总结。
注：本文作于2009年7月3日20点整