pku 1276 Cash Machine 以2的幂次为基底表示整数
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1276
题目大意是:
给定N种面值分别为d[k]的钞票,数量分别为n[k]张.再给一个整数cash.
求,用这些钞票能表示出的不大于cash的最大值是多少.
数据范围N<=1000, n[k]<=1000, cash<=100000
最简单的DP思路是大背包.把每一张钞票看成一件物品,把cash看成背包容量.
这样的复杂度是O(sigma(n[k])*cash),上限是10^11,显然难以应付1000ms的时限.
此处便需利用一个整数的性质来压缩钞票数:
易知,1,2,4,...,2^(k-1)这些数的线性组合,可以表示出任意小于2^k的正整数.
所以如果n[i]=2^k-1,那么实际上钞票k,就可以转化为分别用系数(1,2,4,...,2^k-1)去乘d[k]而得到的钞票各一张.
如果n[i]!=2^k-1,只需取系数1,2,4,..,2^(k-1),n[i]-(2^k-1),其中k是使2^k-1<=n[i]的最大整数.
代码如下:
1
#include
<
iostream
>
2 #include < algorithm >
3 using namespace std;
4 int dp[ 100010 ],mark;
5 int sn,cash;
6 struct BILL{
7 int n,d;
8 }b[ 1010 ];
9 int ans;
10
11 void go_dp(){
12 int i,k,upb,r,s;
13 dp[ 0 ] = mark;
14 ans = 0 ;
15 for (k = 0 ; k < sn; k ++ ){
16 r = 1 ; // 系数:2的幂次
17 while (b[k].n > 0 ){
18 if ((r << 1 ) - 1 > b[k].n){
19 r = b[k].n - (r - 1 );
20 b[k].n = 0 ;
21 }
22 s = r * b[k].d; // 新钞票的面值
23 upb = min(ans + s,cash);
24 for (i = upb; i >= s; i -- ){
25 if (dp[i - s] == mark){
26 dp[i] = mark;
27 if (ans < i) ans = i;
28 }
29 }
30 r <<= 1 ;
31 if (ans == cash) return ;
32 }
33 }
34 }
35
36 int main(){
37 int i,j,k;
38 mark = 0 ;
39 while (scanf( " %d%d " , & cash, & sn) != EOF){
40 ans = 0 ; mark ++ ;
41 for (i = 0 ;i < sn;i ++ ){
42 scanf( " %d%d " , & b[i].n, & b[i].d);
43 ans += b[i].n * b[i].d;
44 }
45 if (ans > cash)
46 go_dp();
47
48 printf( " %d\n " ,ans);
49 }
50 return 0 ;
51 }
52
2 #include < algorithm >
3 using namespace std;
4 int dp[ 100010 ],mark;
5 int sn,cash;
6 struct BILL{
7 int n,d;
8 }b[ 1010 ];
9 int ans;
10
11 void go_dp(){
12 int i,k,upb,r,s;
13 dp[ 0 ] = mark;
14 ans = 0 ;
15 for (k = 0 ; k < sn; k ++ ){
16 r = 1 ; // 系数:2的幂次
17 while (b[k].n > 0 ){
18 if ((r << 1 ) - 1 > b[k].n){
19 r = b[k].n - (r - 1 );
20 b[k].n = 0 ;
21 }
22 s = r * b[k].d; // 新钞票的面值
23 upb = min(ans + s,cash);
24 for (i = upb; i >= s; i -- ){
25 if (dp[i - s] == mark){
26 dp[i] = mark;
27 if (ans < i) ans = i;
28 }
29 }
30 r <<= 1 ;
31 if (ans == cash) return ;
32 }
33 }
34 }
35
36 int main(){
37 int i,j,k;
38 mark = 0 ;
39 while (scanf( " %d%d " , & cash, & sn) != EOF){
40 ans = 0 ; mark ++ ;
41 for (i = 0 ;i < sn;i ++ ){
42 scanf( " %d%d " , & b[i].n, & b[i].d);
43 ans += b[i].n * b[i].d;
44 }
45 if (ans > cash)
46 go_dp();
47
48 printf( " %d\n " ,ans);
49 }
50 return 0 ;
51 }
52
另,在网上搜得另一种思路,开bool数组记录每个总额是否能达到,开个2维数组记录达到相应总额每种钞票使用数
个人以为,这种方法不能保证总得到最优解.考察如下的例子:
cash=3*4*5=60
钞票(面值*张数):3*19,4*14,5*11
假设55的方案恰好是5*11,56的方案恰好是4*14,57的方案恰好是3*19,那么在考虑60时就找不到解了.实际上60是可以达到的.