pku 1737 Connected Graph 组合数学，图的计数问题注意联系连通分量

pku 1737 Connected Graph 组合数学，图的计数问题注意联系连通分量

题目意思很明了，计算一个n个顶点的无向连通图的数量
可以这样思考:
n个顶点的无相连通图构成方法为在n-1个节点中分离出一个大小为i的联通分量加上第n个节点与剩余的n-1-i个点构成的联通分量（可能n-1-i个点并不联通，但是可以通过第n个点联通），所以初步的式子是这样：
dp[i]=sum{dp[j]*(1 shl j-1)*dp[i-j]*c[j-1][i]}
但是这个式子有点问题，会产生重复，如图所示

1）

    2）

 

 

 

1）和2）其实是同一种状态，但是按 算选出（1，2）是一种，选出（3，4）是一种，所以产生了重复。

那么该怎么修改呢，其实只要固定一个点，假设是1，再从n-1个点中选出i-1个点去跟1构成连通图即C^i-1_n-1，那样就可以避免重复了；

所以式子修正为

dp[i]=sum{dp[j]*(1 shl j-1)*dp[i-j]*c[j-2][i-1]}
不知道网上很多人为什么要从反面考虑，即算出n无向图的个数2^C[n][2]然后再减去不连通的诱导子图数目，感觉是多此一举~

 1  import  java.io. * ;
 2  import  java.math. * ;
 3  public   class  Main {
 4 
 5       /**
 6       *  @param  args
 7        */
 8       public   static   void  main(String[] args)  throws  IOException{
 9          BufferedReader in = new  BufferedReader( new  InputStreamReader(System.in));
10          BigInteger dp[] = new  BigInteger[ 60 ];
11          BigInteger c[][] = new  BigInteger[ 51 ][ 51 ];
12          c[ 0 ][ 0 ] = BigInteger.ONE;
13           for ( int  i = 1 ;i <= 50 ;i ++ )
14              c[i][ 0 ] = c[i][i] = BigInteger.ONE;
15           for ( int  i = 2 ;i <= 50 ;i ++ )
16               for ( int  j = 1 ;j < i;j ++ )
17                  c[i][j] = c[i - 1 ][j].add(c[i - 1 ][j - 1 ]);
18          dp[ 1 ] = BigInteger.ONE;
19          dp[ 0 ] = BigInteger.ONE;
20           for ( int  i = 2 ;i <= 50 ;i ++ )
21          {
22              dp[i] = BigInteger.ZERO;
23               for ( int  j = 1 ;j < i;j ++ )
24                  dp[i] = dp[i].add(dp[j].multiply((BigInteger.ONE.shiftLeft(j)).add(BigInteger.ONE.negate())).multiply(dp[i - j]).multiply(c[i - 2 ][j - 1 ]));
25          }
26           int  num = 0 ;
27           while ( true )
28          {
29              num = Integer.parseInt(in.readLine());
30               if (num == 0 )  break ;
31              System.out.println(dp[num]);
32          }
33 
34      }
35 
36  }
37