几类面试题的思考与总结

1、从N个数里选最XX的K个

这个问题是问得最多的。一般情况下K会远小于N。这道题有两个思路，一是参照快速排序的思想，递归地划分，直至找到左边的K个。快排在最坏的情况下，是会退化为平方的，所以要加上随机化。即使不随机化，也有些比较复杂的算法保证复杂度不会很高，可以参照《算法导论》里求第K大的数的算法。如果答出这个算法，估计面试官都佩服你。另一个思路，则比较保险，维护一个堆，里面存K个数，考察下一个数的时候，先让它跟堆顶元素比较，如果合乎要求，再把堆顶元素出堆，然后把下一个元素放进去。如果面试官数学好的话，还会让你用概率分析一下这个算法的效率。假设原来要考虑第M（M>K）个数了,则这个数要放进堆里的概率为M个数的所有排列中，第M个数是前K大的数的排列所占比例，用排列公式算一下就行了。

下面来具体分析一下，上面两种方案的复杂度，数学不好的可以跳过。

对于维护堆的情况，每次调整是lgK的复杂度，N次就是NlgK。这是最坏的情况。下面作平均情况的分析。对一个大小为K的堆，当堆里元素不足K的时候，是不用堆的插入操作，等到元素等于K的时候，再作一个建堆操作，这个操作的复杂度是O（K）而不是O（KlgK）。而后在每次插入中，第M个元素要插入到堆中的概率是K/M（根据排列的知识算一下，化简后的结果），N次的结果，就是对K/M,K/(M+1),K/(M+2)……求和，这其实就是Harmonic数列，当然还要减开Hk的部分，这个数列是发散的，不能求和，但是可以比较精确地近似它的和，是lnN数量级的。所以最终的复杂度为O(n+lnN lnK)，去掉低阶，化简为O（n）。

对于仿照快排的方式，最坏的情况下，当然是O(n^2)的。分析一下平均的情况。每次切分，都要遍历当前区间，但是平均情况下，区间的大小是指数减少的。所以每次要遍历的节点的求和，应该是等比数列求和，n+n/2+n/4+n/8+……。求和后应该是O（n）的。因为左端有K个数后，就不应再切分了，所以求和公式最小项并不到1，但是这并不影响复杂度。

现在分析一下K的影响，对于方案1来说，K越大，速度会越慢；而对于方案二来说，K越大，速度会越快。

 

2、最大连续和

这个问题问得太多了。应该一般人都知道是用贪心的算法可以线性求解了。如果问到二维的情况，目前二维的情况还没找到很好的解决方案。回答用贪心的方法得出O（n^3）的算法应该也可以了

3、求是否存在连续的一段的和等于指定的数（N）

这个问题可以认为是上一个问题的宽泛化。不过解法要复杂一些。把零元素到任何一个元素的连续和都求出来，然后排序。然后再枚举一个数，再用二分法查找它+N之后的数是否在数组里。这个转化比较巧妙，要慢慢体会。

4、交换两个数

如果直接说用C++的swap是不行的。一个可行的方案是引入一个中间变量。更好的方案是通过加减法，a+=b,b=a-b,a-=b。最佳的答案应该是通过位运算。X := X XOR Y；Y := X XOR Y；X := X XOR Y

5、已经每个客户的上线、下线时间，求每一时刻的在线人数，为了简化问题，跨越零点的情况视为零点前下前，然后再重新上线

客户的数量会有几千万（大家应该猜到是哪间公司的题目了），对每个客户应该在常数时间内完成统计。开一个c[24*60*60]的数组，表示一天里每一秒，如果用户在A时刻上线，B时刻下线，则c[A]++,C[B]--。完成对每一个客户的处理后。遍历一次C，求出从元素零到该元素的连续和，这就是该时刻的在线人数。

下面可以证明这个算法是最好的，因为它对每个客户是O（1）时间的，对每个时刻也是O（1）的，想更加效就只有抽样了。这个算法的转换也是很巧妙的。

6、已知一个数组里，超过一半的元素是同一个数，求这个数

用平方的算法肯定是不行的。排序的nlgn的算法也不够好。用HASH表之类很耗空间的算法也是不行。最简单的算法是作一次线性扫描，记录一下当前的数，及它出现的次数，如果下一个数跟它不同，则把它的次数减1，减到零，则从一个数开始重新计数。最终剩下的数就是要求的数了。

这题的关键是，那个数出现了一半以上。如果单纯地求出现次数最多的数就不能这样了。

7、从一个字符串里查找另一个字符串

一般人可能以为标准答案是KMP。如果考官继续问KMP是怎么操作的，那就难作答了。倒不是说KMP难理解，而是太巧妙了，很难说清楚。其实在实践中，KMP甚至比不上朴素的查找算法。因为朴素的算法，平均情况下，也是线性的，而常数要低些，可以假设每一位出现任一字母的概率是相同的，就可以求解了，当然这个假设太强了，即使概率分布有差异，结果也是一样的。

研究得更多的是，在一个长串里找一个短串，这样可以对短串作很多预处理，从而达到低而线性的复杂度，比如BM系统。

不过这个问题太偏了，应该不会被问到