程序员面试题精选100题(42)-旋转数组的最小元素
题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3, 4, 5, 1, 2}为{1, 2, 3, 4, 5}的一个旋转，该数组的最小值为1。
分析：这道题最直观的解法并不难。从头到尾遍历数组一次，就能找出最小的元素，时间复杂度显然是O(N)。但这个思路没有利用输入数组的特性，我们应该能找到更好的解法。
我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还可以注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。我们试着用二元查找法的思路在寻找这个最小的元素。
首先我们用两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例。后面再讨论特例）。
接着我们得到处在数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间元素的后面。我们可以把第一指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。同样，如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们可以把第二个指针指向该中间元素，这样同样可以缩小寻找的范围。我们接着再用更新之后的两个指针，去得到和比较新的中间元素，循环下去。
按照上述的思路，我们的第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最后第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素，而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。
基于这个思路，我们可以写出如下代码：
// Get the minimum number of a roatation of a sorted array
int Min(int *numbers, int length)
{
if(numbers == 0 || length <= 0)
throw new std::exception("Invalid parameters");
int index1 = 0;
int index2 = length - 1;
int indexMid = index1;
while(numbers[index1] >= numbers[index2])
{
if(index2 - index1 == 1)
{
indexMid = index2;
break;
}
indexMid = (index1 + index2) / 2;
if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])
index1 = indexMid;
else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])
index2 = indexMid;
}
return numbers[indexMid];
}
由于我们每次都把寻找的范围缩小一半，该算法的时间复杂度是O(logN)
值得注意的是，如果在面试现场写代码，通常我们需要用一些测试用例来验证代码是不是正确的，我们在验证的时候尽量能考虑全面些。像这道题，我们出来最简单测试用例之外，我们至少还需要考虑如下的情况：
1. 把数组前面的0个元素从最前面搬到最后面，也就是原数组不做改动，根据题目的规则这也是一个旋转，此时数组的第一个元素是大于小于或者等于最后一个元素的；
2. 排好序的数组中有可能有相等的元素，我们特别需要注意两种情况。一是旋转之后的数组中，第一个元素和最后一个元素是相等的；另外一种情况是最小的元素在数组中重复出现
3. 在前面的代码中，如果输入的数组不是一个排序数组的旋转，那将陷入死循环。因此我们需要跟面试官讨论是不是需要判断数组的有效性。在面试的时候，面试官讨论如何验证输入的有效性，能显示我们思维的严密性。本文假设在调用函数Min之前，已经验证过输入的有效性了。
考虑全面的测试代码为：using namespace std;
int MinInOrder(int* numbers,int index1,int index2);
int Min(int *numbers,int length)
{
if(numbers==NULL || length<=0)
throw "invalid parameters";
int index1=0;
int index2=length-1;
int indexMid=index1;//初始化为index1，可以当数组选择为0时直接返回第一个数，即为最小值。
while(numbers[index1]>=numbers[index2])
{
if(index2-index1==1)
{
indexMid=index2;
break;
}
indexMid=(index1+index2)/2;
//假设第一个数字，中间数字和最后一个均相等，那么久不能判断中间的数属于前一个区间还是后一个区间，就用顺序查找法。
if(numbers[index1]==numbers[index2]&&numbers[indexMid]==numbers[index2])return MinInOrder(numbers,index1,index2);
if(numbers[indexMid]>=numbers[index1])
index1=indexMid;
if(numbers[indexMid]<=numbers[index2])
index2=indexMid;
}
return numbers[indexMid];
}
//顺序查找
int MinInOrder(int* numbers,int index1,int index2)
{
int result=numbers[index1];
for(int i=index1+1;i<index2;i++)
{
if(numbers[i]<result)
result=numbers[i];
}
return result;
}
int main()
{
int array[]={1,2,3,4,5};
Min(array,5);
return 0;
}