【数学：卡特兰数】总结
其实之前就研究了一下卡特兰数 只是因为不知道怎么了就突然忘记继续搞下去了
听了刘老师的卡特兰数后 还是认真写个总结吧
一：卡特兰数的前几个数
为了以后能即使发现是卡特兰数 贴 几个卡特兰数的前几个数
前20项为（OEIS中的数列A000108）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190
二：卡特兰数的一般公式运用
1.
2.
3.
公式一
对于 1 先从一个题目看看这个公式如何来的
习题一.考虑由n个+1和n个-1构成的2n项序列a1,a2,a3,....a2n
其部分和总满足 a1+a2+a3+..ak>=0 (k=1,2,3,....2n)
证明这样的序列满足卡特兰数.
证明如下（组合数学教科书上的）：巧妙的运用了一组等价变幻
对于公式2
可以考虑这个题目
- Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
公式3待定
公式4：
由这个题可以知另一个好公式
- Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：
其实还有另外一个方便计算的公式
C（m,n）=C（m-1,n)+C(m,n-1); 若（m<n) 则C（m,n）=0
而C（n,n） 即为 n的卡特兰数
题目链接：
http://blog.csdn.net/zy691357966/article/details/40514945
再考虑一些不容易看出来的卡特兰数题目（那种显而易见的就不贴了）
1.
- Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。
- Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。
2.
- Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：
不知道怎么证
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