扫描算法求一个向量的元素和最大的连续子向量

来源于《编程珠玑》第八章的介绍：求一个向量的元素和最大的连续子向量，使用扫描算法可以将计算量化简到O(n)量级。

 

问：向量X  = { -2, 7, 1, -6, -2, 9, 2, -1 }(n=8) , 求它的和最大的连续子向量。

先看求解过程：

 

X                { -2, 7, 1, -6, -2, 9, 2, -1 }

max_end   {   0, 7, 8,  2, 0, 9, 11,10 } max_end = max( max_end + X(i), 0)

max_sofar {   0, 7, 8,  8, 8, 9, 11,11 } max_sofar = max(max_end, max_sofar);

 

解释一下：

       max_end 类似于积分值，但又有不同。

 

X                { -2, 7, 1, -6, -2, 9, 2, -1 }

max_end   {  0, 7, 8,  2,  0,  9,11,10 }

integration{ -2, 5, 6,  0, -2,  7, 9,  8} 

max_end 有较强的物理意义：max_end 期望尝试向右累加以获得最大子向量。

 

如果X全是正数，max_end 向右累加持续增大；

如果X全是负数，max_end 将一直为0；

如果X有正有负，假设max_end 现在为正，max_end 向右累加，当加到小于0时，有一点可以肯定X(i)<0, 发现没有必要再向右加了，把当前max_end 置0，继续扫描。

 

从左往右扫描，如果第一个数是负的，抛弃(max_end = 0)；

                           第二个数是正的，开始累加，和max_sofar比较并将最大值记录在max_sofar里；

                           第三个数，累加后值还是正的，和max_sofar比较并将最大值记录在max_sofar里；

                           第四个数，累加后值还是正的，和max_sofar比较并将最大值记录在max_sofar里；

                           第五个数，累加后值是0，说明累加值已经递减到0，可得二、三、四、五属于一个山峰，其中二、三是局部最大子

                                          向量。此时max_sofar = 8，记录了局部山顶的值8，并且是在第三个数的时候到达。

                           第六个数是正的，开始新的累加，和max_sofar比较并将最大值记录在max_sofar里；

                           第七个数，累加后值还是正的，和max_sofar比较并将最大值记录在max_sofar里；

                           第八个数，累加后值还是正的，和max_sofar比较并将最大值记录在max_sofar里；此时max_sofar = 11，记录

                                          了局部山顶的值11，并且是在第七个数的时候到达。 

        

可见，这个方法扫描出一座座山峰（不能合并的局部最大和子向量），最后看看哪个子向量的海拔高（和最大）。max_end中的0指示了山峰的山脚（一座山的开始和结束）。这个算法最核心的地方是何时将max_end 置0。光是积分显然做不到，

max_end = max( max_end + X(i), 0)这句代码提供了何时以及怎么处理负数的核心问题。

源码实现如下：

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 8

int max_sub_sum(const int *x, const int n);
int max(int a, int b);

int main()
{
 const int x[N] = { -2, 7, 1, -6, -2, 9, 2, -1 };
 
 int result = max_sub_sum(x, N);

 printf("Result: %d/n", result);

 return 0;
}

int max_sub_sum(const int *x, const int n)
{
 int max_sofar = 0;
 int max_ending = 0;

 for (int i = 0; i < n; ++i)
 {
  max_ending = max(max_ending + x[i], 0);
  max_sofar = max(max_sofar, max_ending);
 }

 return max_sofar;
}

int max(int a, int b)
{
 return (a > b) ? a : b;
}