具体数学笔记(2)-Sums(1)

这部分主要讲了求和的基本方法，包括求和与递归的转化、多重和计算等内容。

一、Notation

这部分主要介绍表示求和式中的一些符号。如general form:

      (2.1)

或者是delimited form:

    （2.2）

或者是generalized Sigma-notation

    (2.3)

我们通常使用2.2来陈述一个问题或者一个结果，而在运算的过程中我们则更偏向于使用2.3这种形式。

通常我们使用2.4来表示所有的和，其中k满足性质p(k).

    (2.4)

利用Iversion's convention（如：），我们可以把2.4重新写成2.5：

    (2.5)

二、Sums and Recurrences

这部分主要探讨递归和求和之间的关系。

1、求和 和2.6这个递归表达式等价。

    (2.6)

若是一个常量加上k的倍数，那么2.6可以表示成下面这种形式：

    (2.7)

那么我们可以写成下面这种形式：

    (2.8)

利用上一章的repertoire method，分别设，我们可以得到。

2、同样，递归式也可以表示成求和，考虑如下形式：

    (2.9)

我们两边乘上，其中满足，即。我们令，那么，展开这个递归式我们可以得到：

 

那么2.9式的最终解为:

    (2.10)

由，展开这个式子，我们可以得到为2.11或者任何常数乘上它

    (2.11)

 3、下面应用 分析快速排序比较的次数如2.12所示：

    （2.12)

两边都乘上n：

。

我们再用n-1替代n可得:

两式相减可以得到：

。当n=1时也成立。综上所述：

对比2.9式我们可以知道，那么根据2.11我们可以得到的值：

再根据2.10式可以得到最终的结果：

我们引入一个调和数(harmonic number):

    (2.13)

那么

那么我们关于快速排序的比较次数可以写为：。

三、Manipulation of Sums

这部分主要讲求和的基本性质。

1、若K是任意有限整数集，那么它满足三个性质distributive law (2.15)、associative law(2.16)、commutative law(2.17)

    (2.15)

    (2.16)

    (2.17)

2、 对于2.17，对每一个整数n，有且仅有一个整数k使得p(k)=n。

当两个集合不同时则有以下性质：

    (2.20)

我们将求和拆分：

    (2.23)

这就是所谓perturbation method方法的基础。

通过上面的拆分和简单的推算，我们可以的到几何级数(geometric progression)求和公式：

    (2.25)

3、下面利用perturbation技术来解决一个稍微困难的问题：

我们增加一项：

右边第一项为，第二项是上面的几何级数，它等于，最终我们可以得到结果：

。

当我们用x替换上面的2时，用同样的方法我们可以得到

    (2.26)

我们用微分的方法同样可以得到相同的结果，考虑下面等式：

我们对两边分别求导可以得到：

四、Multiple Sums

这部分主要讲解如何处理多重和。

1、首先看多重和的几个基本性质：

• interchanging the order of summation：    (2.27)
• distributive law:    (2.28)

2.27式有一些变形：

• vanilla version：    (2.29)
• rocky-road formula：    (2.30) 。

其中集合满足： 。

根据这条性质，我们可以得到一个有用的式子：     (2.31)

那么：     (2.32)

2、下面应用一个例子。对于方阵 （ 对称），求其对角线及其以上元素之和： 。

易知，那么    (2.33)

3、下面应用一个比较复杂的问题。。当j和k交换时其具有对称性：。我们将两者相加并根据下标区间的关系：

 可以得到：，很明显，后面一项为0，前面拆分并经过简单的推算可以得到：。返回到我们的问题，可以得到一个有趣的式子：

    （2.34）

根据2.34，我们可以得到切比雪夫单调不等式（Chebyshev's monotonic inequalities）：

4、下面考虑多重和的下标变换

考虑2.17的commutative law，设f为任意的函数：，我们用f(j)来替换k，那么可以得到下式：

    (2.35)

其中为满足右式的元素个数：。

下面考虑一个具体的应用：。通过简单的计算我们可以得到，下面通过三种方法来计算这个式子：

• 先累加j：
• 先累加k：
•  转换前先用k+j替代k：。 (第三个等号后面k的范围是，写成更容易计算)

根据上面的推算，我们得到了一个额外的公式：     (2.36)

五、General Methods

这部分主要是为了巩固前面学的只是用不同的方法去求解前n个数的平方和:     (2.37)

1、You could look it up

查找资料很容易找到答案为：    (2.38)

2、 Guess the answer, prove it by induction

先从小规模开始找规律提出猜想，然后用数学归纳法来证明。这个也比较简单，但有时需要灵感。

3、Perturb the sum

我们通过分离的最后一项来寻求某些关系：，即我们可以得到：

。

再根据立方和我们可以得到：

根据上式易知结果。

4、Build a repertoire

即所谓的待定系数法，易知结果的形式为：.    (2.41)

它和2.8很像当时。也是就是我们从2.8知道了A(n)、B(n)、C(n)的值。我们在令就可以得到D(n)。

5、Replace sums by integrals

寻找积分与求和之间的关系：，通过作图其面积含义我们可以发现和它很接近。我们令，那么可以找到的递归式：

另外我们可以通过积分的方法算出的表达式：

 然后计算即可。

6、Expand and contract

我们把单重合扩展为多重和。我们知道，那么我们可以吧平方拆开：

多重和处理起来可能比较难，但有时候却是比较简单的。正所谓：You can't scale the highest mountain peaks by climbing only uphill。

7、Use finite calculus 8、Use generating functions:这些都在后续章节分析。