HDU_ACM step 1.2.2 Rightmost Digit （解法：快速幂取余和快速幂取余的推导过程）
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Problem Description
Given a positive integer N, you should output the most right digit of N^N.
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Input
The input contains several test cases. The first line of the input is a single integer T which is the number of test cases. T test cases follow.
Each test case contains a single positive integer N(1<=N<=1,000,000,000). |
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Output
For each test case, you should output the rightmost digit of N^N.
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Sample Input
2 3 4 |
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Sample Output
7
6
<div style="" font-size:="" 14px;="" border-top:="" #b7cbff="" 1px="" dashed;="" font-family:="" times"="">
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如果直接根据题意来做，会超时。为了降低时间复杂度，这道题主要是要利用快速幂取模的算法思想
快速幂取模算法：
我们先从简单的例子入手：求a^b % c = ?
算法1.首先直接地来设计这个算法：
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：a^b%c=(a%c)^b%c.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：
引理1：a^b%c = (a%c)^b%c
上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，
于是不用思考的进行了改进：
算法2：
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
算法3：
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。
那么我们可以得到以下算法：
算法4：
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;
我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过
ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。
算法5：快速幂算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 == 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
将上述的代码结构化，也就是写成函数：
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。
下面给出笔者实现该题目的代码：
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
/*
int mod_exp(int a, int b, int c)
{
int res,i,k;
res = 1 % c;
k = a * a % c;
b >>= 1;
for( i=0; i< b; i++)
{
if ( b & 1)//判断是否为奇数
res = res * a % c;
res = res * k % c;
}
return res;
}
*/
int mod_exp(int a, int b, int c)
{
int res,i;
res = 1 % c;
a = a % c;
while(b)
{
if ( b & 1) //判断是否为奇数
res = res * a % c;
a = a * a % c;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main()
{
int i;
cin>>i;
while(i--)
{
int n;
cin >> n;
cout << mod_exp(n, n, 10) << endl;
}
return 0;
}