一个线代问题的证明

坛子上的帖子，没法贴图，在博客里回

题目：已知nxn方阵满足A*A=E，求证rank(A+E)+rank(A-E)=n

证明：

1. A*A=E，则A是可逆矩阵，其逆矩阵是自己

2. 对于任意一个n维得向量x,我们可以得到

x=(A+E)y +(A-E)y =2Ay, y=0.5 *Ax 因此，对于任意一个n维得向量都可以用(A+E)和(A-E)的列向量线性组合，很显然，r(A+E)+r(A-E) >= n

3. (A+E)(A-E) = A*A+A-A-E=E+A-A-E=0，由前面证明我们知道r(A+E)+r(A-E)至少为n，我们只需要排除和大于n的情况。我们反证假设r(A+E)+r(A-E)>n. 我们可以令r(A+E)=a+b, r(A+E)=c+b，且a+b+c=n

使用行列变换得到A+E的标准型和A-E的标准型如下：

很显然(A+E)(A-E) => QP^'中和I_b对应的部分全部为0，但是这是不可能的，因为Q,P'都是可逆矩阵。

因此r(A+E)+r(A-E)>n不成立，r(A+E)+r(A-E)=n