zoj 1450 Minimal Circle【最小覆盖圆问题】
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Input
The input contains several problems. The first line of each problem is a line containing only one integer N which indicates the number of points to be covered. The next N lines contain N points. Each point is represented by x and y coordinates separated by a space. After the last problem, there will be a line contains only a zero.
Output
For each input problem, you should give a one-line answer which contains three numbers separated by spaces. The first two numbers indicate the x and y coordinates of the result circle, and the third number is the radius of the circle. (use escape sequence %.2f)
Sample Input
2
0.0 0.0
3 0
5
0 0
0 1
1 0
1 1
2 2
0
Sample Output
1.50 0.00 1.50
1.00 1.00 1.41
题意：
算法：计算几何
思路：
这里介绍的算法是，先任意选取两个点，以这两个点的连线为直径作圆。再以此判断剩余的点，看它们是否都在圆内（或圆上），如果都在，说明这个圆已经找到。如果没有都在：假设我们用的最开始的两个点为p1,p[2]，并且找到的第一个不在圆内（或圆上）的点为p[i]，于是我们用这个点p[i]去寻找覆盖p1到p[i-1]的最小覆盖圆。
那么，过确定点p[i]的从p1到p[i-1]的最小覆盖圆应该如何求呢？
我们先用p1和p[i]做圆，再从2到i-1判断是否有点不在这个圆上，如果都在，则说明已经找到覆盖1到i-1的圆。如果没有都在：假设我们找到第一个不在这个圆上的点为p[j]，于是我们用两个已知点p[j]与p[i]去找覆盖1到j-1的最小覆盖圆。
而对于两个已知点p[j]与p[i]求最小覆盖圆，只要从1到j-1中，第k个点求p[k],p[j],p[i]三个点的圆，再判断k+1到j-1是否都在圆上，若都在，说明找到圆；若有不在的，则再用新的点p[k]更新圆即可。
于是，这个问题就被转化为若干个子问题来求解了。
由于三个点确定一个圆，我们的过程大致上做的是从没有确定点，到有一个确定点，再到有两个确定点，再到有三个确定点来求圆的工作。
关于正确性的证明以及复杂度的计算这里就不介绍了，可以去看完整的算法介绍：ACM 计算几何 最小圆覆盖算法
关于细节方面：PS:细节部分推荐路过的 acmer 们搞自己的模板比较好。
a.通过三个点如何求圆？
先求叉积。
若叉积为0，即三个点在同一直线，那么找到距离最远的一对点，以它们的连线为直径做圆即可；
若叉积不为0，即三个点不共线，那么就是第二个问题，如何求三角形的外接圆？
b.如何求三角形外接圆？
假设三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)；
设过(x1,y1),(x2,y2)的直线l1方程为Ax+By=C，它的中点为(midx,midy)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，l1中垂线方程为A1x+B1y=C1；则它的中垂线方程中A1=-B=x2-x1，B1=A=y2-y1,C1=-Bmidx+Amidy=((x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2))/2；
同理可以知道过(x1,y1),(x3,y3)的直线的中垂线的方程。
于是这两条中垂线的交点就是圆心。
c.如何求两条直线交点？
设两条直线为A1x+B1y=C1和A2x+B2y=C2。
设一个变量det=A1B2-A2B1；
如果det=0，说明两直线平行；若不等于0，则求交点：x=(B2C1 -B1C2)/det，y=(A1C2-A2C1)/det；
d.于是木有了。。
求三角形的外接圆：推荐资料
三角形垂心， 重心，外心坐标公式
Q = 1 / (1 / (P - a^2) + 1 / (P - b^2) + 1 / （P - c^2));
λ1=Q/(P-a^2),λ2=Q/(P-b^2),λ3=Q/(P-c^2)；(注:λ1+λ2+λ3=1)
垂心:H(x,y)=λ1*A(x,y)+λ2*B(x,y)+λ3*C(x,y),
重心:G(x,y)=1/3*A(x,y)+1/3*B(x,y)+1/3*C(x,y),
外心:O(x,y)=(1-λ1)/2*A(x,y)+(1-λ2)/2*B(x,y)+(1-λ3)/2*C(x,y);
//三角形的外接圆圆心,先前已经保证了 A,B,C 三点不共线
void TriangleCircumCircle(Point A, Point B, Point C)
{
Vector a = C-B, b = A-C, c = B-A;
double da = pow(dist(a), 2), db = pow(dist(b), 2), dc = pow(dist(c), 2);
double px = (da + db + dc) / 2.0;
double Q = 1 / (1/(px-da) + 1/(px-db) + 1/(px-dc));
//t1+t2+t3 = 1
double t1 = Q/(px-da), t2 = Q/(px-db), t3 = Q/(px-dc);
Point O = A*((1-t1)/2.0) + B*((1-t2)/2.0) + C*((1-t3)/2.0) ; //外心
//Point H = A*t1 + B*t2 + C*t3; //垂心
//Point G = A*(1/3) + B*(1/3) + C*(1/3); //重心
center = O;
}
参考资料：
code：
| F | Accepted | 188 KB | 0 ms | C++ (g++ 4.4.5) | 4104 B | 2013-08-20 23:05:22 |
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 110;
int n;
struct Point {
double x,y;
Point() {}
Point(double _x, double _y) {
x = _x; y = _y;
}
Point operator - (const Point &b) const { //确定向量
return Point(x-b.x, y-b.y);
}
Point operator + (const Point &b) const {
return Point(x+b.x, y+b.y);
}
Point operator * (const double &k) const {
return Point(k*x, k*y);
}
double operator * (const Point &b) const { //点积
return x*b.x + y*b.y;
}
double operator ^ (const Point &b) const { //叉积
return x*b.y - y*b.x;
}
}p[maxn];
typedef Point Vector;
double dist(Point a, Point b) { //向量 ab 的长度
return sqrt((a-b)*(a-b));
}
double dist(Point a) {
return sqrt(a*a);
}
Point MidPoint(Point a, Point b) { //求 ab 的中点
return Point( (a.x+b.x) / 2.0, (a.y+b.y) / 2.0);
}
double radius; //半径
Point center; //圆心
//三角形的外接圆圆心,先前已经保证了 A,B,C 三点不共线
void TriangleCircumCircle(Point A, Point B, Point C)
{
Vector a = C-B, b = A-C, c = B-A;
double da = pow(dist(a), 2), db = pow(dist(b), 2), dc = pow(dist(c), 2);
double px = (da + db + dc) / 2.0;
double Q = 1 / (1/(px-da) + 1/(px-db) + 1/(px-dc));
//t1+t2+t3 = 1
double t1 = Q/(px-da), t2 = Q/(px-db), t3 = Q/(px-dc);
Point O = A*((1-t1)/2.0) + B*((1-t2)/2.0) + C*((1-t3)/2.0) ; //外心
//Point H = A*t1 + B*t2 + C*t3; //垂心
//Point G = A*(1/3) + B*(1/3) + C*(1/3); //重心
center = O;
}
//如果第 j 个点 pj 不在第一个点和第 i 个点为直径的圆内
//注：m = j-1
//重新以第 i 个点和第 j 个点为直径继续判断
void MiniDiscWith2Point(Point pi, Point pj, int m)
{
center = MidPoint(pi, pj);
radius = dist(pi, pj) / 2.0;
for(int k = 1; k <= m; k++) //如果p[k]不在圆内,枚举三角形【pi, pj, p[k]】的外接圆
{
if(dist(center, p[k]) <= radius) continue;
//如果第 k 个点不在当前要判断的圆内
double cross = (pi-pj)^(p[k]-pj);
if(cross != 0) //如果三点不共线
{
TriangleCircumCircle(pi, pj, p[k]);
radius = dist(center, pi);
}
else //如果三点共线
{
double d1 = dist(pi, pj); //d1 肯定不是最大的
double d2 = dist(pi, p[k]);
double d3 = dist(pj, p[k]);
if(d2 >= d3)
{
center = MidPoint(pi, p[k]);
radius = dist(pi, p[k]) / 2.0;
}
else
{
center = MidPoint(pj, p[k]);
radius = dist(pj, p[k]) / 2.0;
}
}
}
}
//当前圆不能覆盖第 i 个点 pi, 以第一个点和第 i 个点为直径的圆再次判断
//注：m = i-1
void MiniDiscWithPoint(Point pi, int m)
{
center = MidPoint(pi, p[1]); //以 第一个点和第 i 个点为直径
radius = dist(pi, p[1]) / 2.0;
for(int j = 2; j <= m; j++) //判断第 2 个点到第 i-1 个点是否包含在当前园内
{
if(dist(center, p[j]) <= radius) continue;
else MiniDiscWith2Point(pi, p[j], j-1); //如果第 j 个点不在当前圆内
}
}
int main()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
if(n == 0) break;
double x,y;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%lf%lf", &x,&y);
p[i] = Point(x,y);
}
if(n == 1)
{
printf("%.2lf %.2lf 0.00\n", p[1].x, p[1].y);
continue;
}
//第一个圆任意枚举两点都可以, 个人意见是先以凸包直径上的点为圆直径,再判断
//不过考虑到求凸包直径稍微麻烦点,而总共才 100 个点
radius = dist(p[1], p[2]) / 2.0; //先枚举第一个点和第二个点为直径
center = MidPoint(p[1], p[2]);
for(int i = 3; i <= n; i++) // 前面必定保证了第一个点到第 i-1 个点都已经被覆盖
{
if(dist(center, p[i]) <= radius) continue;
//找到第一个不能被当前圆覆盖的点
else MiniDiscWithPoint(p[i], i-1); //当前的圆不能覆盖 p[i]
}
printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n", center.x, center.y, radius);
}
return 0;
}