布隆过滤器（Bloom Filter）

什么是布隆过滤器？

维基百科给出的解释如下：

布隆过滤器（英语：Bloom Filter）是1970年由布隆提出的。它实际上是一个很长的二进制矢量和一系列随机映射函数。布隆过滤器可以用于检索一个元素是否在一个集合中。它的优点是空间效率和查询时间都远远超过一般的算法，缺点是有一定的误识别率和删除困难。

如果有1亿个不重复的网址，如何判定某个网址是否包含在这1亿个地址中？可能第一时间就想到用hash表了。但是，如果用hash表，存储1亿个网址，假设1亿个网址都被压缩为8字节的短网址，因为hash表中不可避免总会发生碰撞，如果控制hash表的装填因子在0.5左右，那至少需要的内存大小为：2*8*10^8/(1024^3)=1.5G。如果需要存储10亿，100亿的网址呢？有人会说，可以采用位图的方式，将每个网址经过一个哈希函数映射到某一位，比如1亿个网址，只需要1亿位就可以保存，也就只需要1*10^8/(1024^2*8)=11.9M。但是因为哈希函数冲突概率太高，假设要将冲突概率降低到1%，至少要将位图长度设定为url个数的100倍，所以使用的内存大小也接近1G了。显然，这种情况下hash表或位图处理就不再合适。这时候就需要用到布隆过滤器了。

布隆过滤器原理

布隆过滤器需要一个位数组，这点和位图类似。还需要k个映射函数，这点和hash表类似。

1）加入元素

首先，将长度为m个位数组的所有的位都初始化为0。如下图：

其中的每一位都是一个二进制位。

对于有n个元素的集合S={s1,s2,...,sn}，通过k个映射函数{f1,f2,...,fk}，将集合s中的每个元素映射为k个值{b1,b2,..,bk}，然后再将位数组中的与之对应的b1,b2,...,bk位设置为1:

这样，就将一个元素映射到k个二进制位了。

2）检查元素是否存在

如果要查找某一个元素是否在集合S中。就可以通过映射函数{f1,f2,...,fk}得到k个值{b1,b2,..,bk}，然后判断位数组中对应的b1,b2,...,bk位是否都为1，如果全部为1，则该元素在集合S中，否则，就不在集合S中。

但有没有误判的情况呢？即对应的位数组的位都为1，但元素却不在集合中。答案是有可能会有误判的情况，但这个概率很小，通常在万分之一以下。下文再继续论述。

布隆过滤器误判概率计算

假设布隆过滤器中的hash函数满足假设：每个元素都等概率的hash到m个位中的任何一个，与其他元素被hash到哪个位无关。那么，对某一个特定的位在一个元素被插入时没有被设置为1的概率是：1-1/m。

那么，k个hash函数中没有一个对该位设置为1的概率为：(1-1/m)^k。

如果插入了n个元素，但是都没有对该位设置为1的概率为：(1-1/m)^kn。

所以，插入了n个元素，该位被设置为1的概率为：1-(1-1/m)^kn。

在查询阶段，如果对应某个等待查询元素的k个位全部被设置为1，则判定它在集合中。因此，将元素误判的概率为

根据高等数学中的知识：

可以看出，当m增大或者n减小时，也就是位数组的位数越多或者集合元素数目越少，误判率都会减小。那么，k的值是多少时，可以让误判率最低呢？

经过计算，当k=ln2×m/2时，即k=0.7*m/n时，误判率最低。此时，误判率约等于0.6185^(m/n)。

我们此时可以计算以下，对于n=1亿时，如果取m=10亿位，那么k=7，此时的误判率为0.0082，降到了1%以下，但是只需要119M内存就可以存储。

布隆过滤器误判率表如下：

一个简单的布隆过滤器代码如下：

package com.algorithm;

import java.util.BitSet;

public class SimpleBloomFilter {

    private BitSet bits;
    private static final int[] seeds = new int[] { 5, 7, 11, 13, 31, 37, 61 };
    private SimpleHash[] hashFunctions = new SimpleHash[seeds.length];

    public SimpleBloomFilter() {
        this(2 << 24);
    }

    public SimpleBloomFilter(int size) {
        bits = new BitSet(size);
        for (int i = 0; i < hashFunctions.length; i++) {
            hashFunctions[i] = new SimpleHash(size,seeds[i]);
        }
    }

    public void add(String value) {
        for (SimpleHash hashFunction : hashFunctions) {
            bits.set(hashFunction.getHashCode(value),true);
        }
    }

    public boolean contains(String value) {
        if (null == value) {
            return false;
        }
        boolean result = true;
        for (SimpleHash hashFunction : hashFunctions) {
            result = result && bits.get(hashFunction.getHashCode(value));
        }

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        SimpleBloomFilter bloomFilter = new SimpleBloomFilter();
        String value = "iAm333";
        System.out.println(bloomFilter.contains(value));
        bloomFilter.add(value);
        System.out.println(bloomFilter.contains(value));
    }
}

其中，计算hash值的代码：

package com.algorithm;

public class SimpleHash {
    private int size;
    private int seed;

    SimpleHash(int size, int seed) {
        this.size = size;
        this.seed = seed;
    }

    public int getHashCode(String value) {
        int result = 0;
        int length = value.length();
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            result = seed * result + value.charAt(i);
        }
        return (size - 1) & result;
    }
}

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