多面体的欧拉公式

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。

 

欧拉13岁进入瑞士巴塞尔大学读书，15岁获得学士学位，16岁又获得巴塞尔大学哲学硕士学位，轰动了当时的科学界。但是，他的父亲却希望他去学神学。直到小欧拉19岁时获得了巴黎科学院的奖学金之后，父亲才不再反对他读数学。欧拉是一位创作性超群的数学家，后来从瑞士转赴俄国和德国工作，因此三个国家都声称他是本国的科学家。

 

有许多关于欧拉的传说。比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。 欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。欧拉28岁时一只眼睛失明了，后来另一只眼睛也看不见了，据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致。尽管如此，他仍然靠心算完成了大量论文。

 

下面来看看欧拉公式中最著名和优美的一个。

 

拓扑学的欧拉公式描述了多面体顶点(Vertex)，边(Edge)和面(Face)之间的关系:

V - E + F = X

其中，V是多面体的顶点个数，E是多面体的棱的条数，F是多面体的面数, X是多面体的欧拉示性数(Euler characteristic)。

X是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。X的值依赖于几何物体的形态和曲面的取向。

可定向性——大部分我们在物理世界中遇到的曲面是可定向的。例如平面，球面与环面是可定向的。但是莫比乌斯带(Möbius strip)不可定向，它在三维空间中看起来都只有一“侧”。假设一只蚂蚁在莫比乌斯带上爬行，它可以在不穿过边界的情况下爬到曲面的另一侧。

亏格(Genus)——可定向曲面的亏格是一个整数。如果沿一个几何曲面的任意一条简单闭合曲线切开，都能把曲面切断，那么这个曲线的亏格就是0。如果存在一条简单闭合曲线在切开后，曲面没有分成两个部分，那么亏格就是1。进一步的在亏格为1的曲面上切开一条曲线后，还能再找到一条这样的曲线，那么亏格为2。依次类推。

闭可定向曲面的欧拉示性数可以通过它们的亏格 g 来计算

X = 2 - 2 * g

例如，长方体的亏格是0，顶点为8个，边为12个，面为6个，它的欧拉公式为

8 - 12 + 6 = 2

对于四面体，亏格为0，顶点为4个，边为6g个，面为4个，它的欧拉公式为

4 - 6 + 4 = 2

 

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的法国科学家柯西( Augustin Louis Cauchy ) 给出，大致如下:

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数(也是欧拉示性数) F − E + V 的额外变换。

1.若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角型。
2. （逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。
3. 除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持定点数不变。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形F = 2 (把外部数在内), E = 3, V = 3。所以F − E + V = 2。证毕。

 

参考资料：

http://en.wikipedia.org/wiki/Genus_%28mathematics%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Orientability
http://baike.baidu.com/view/1681302.htm