#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <vector> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; #define LL long long int m,n; const int mod=9973; struct matrix{ int f[11][11]; }; int euler_phi(int x) { int p=(int)sqrt(x+0.5); int ans=x,i; for(i=2;i<=p;i++) if(x%i==0) { ans=ans/i*(i-1); while(x%i==0)x/=i; } if(x>1)ans=ans/x*(x-1); return ans%mod;// 注意mod,不然会爆int } matrix mul(matrix a,matrix b) { int i,j,k; matrix c; memset(c.f,0,sizeof(c.f)); for(k=1;k<=m;k++) { for(i=1;i<=m;i++) { if(!a.f[i][k])continue; for(j=1;j<=m;j++) { if(!b.f[k][j])continue; c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[j][k])%mod; } } } return c; } matrix pow_mod(matrix a,int b) { matrix s; memset(s.f,0,sizeof(s.f)); for(int i=1;i<=m;i++) s.f[i][i]=1; while(b) { if(b&1) s=mul(s,a); a=mul(a,a); b=b>>1; } return s; } int solve(matrix e,int x) { e=pow_mod(e,x); int i,ans=0; for(i=1;i<=m;i++) ans=(ans+e.f[i][i])%mod; return ans; } int pows(int a,int b) { int s=1; while(b) { if(b&1) s=(s*a)%mod; a=(a*a)%mod; b=b>>1; } return s; } int main() { int T; cin>>T; while(T--) { int i,j,k,a,b,ans=0; cin>>n>>m>>k; matrix e; for(i=1;i<=m;i++) for(j=1;j<=m;j++) e.f[i][j]=1; for(i=0;i<k;i++) { cin>>a>>b; e.f[a][b]=e.f[b][a]=0; } for(i=1;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { if(i*i==n) ans=(ans+euler_phi(i)*solve(e,i))%mod; else ans=(ans+euler_phi(i)*solve(e,n/i)+euler_phi(n/i)*solve(e,i))%mod; } } cout<<ans*pows(n%mod,mod-2)%mod<<endl;//pows里注意下n%mod } return 0; } /* 这题是用欧拉函数,置换的Burnside引理和矩阵来解决的 欧拉函数euler_phi(x),求的是不超过x且与x互质的正整数个数 Burnside引理:对于一个置换f,若一个着色方案s经过置换后不变,称s为f的不动点。将f的不动点数记为C(f), 则可以证明等价类数目为所有C(f)的平均值。 矩阵: f[i][j]=1表示颜色i的后面可以接颜色j,而f[i][j]=0表示不行。得到矩阵A A^k种∑f[i][i]表示长为k的符合要求的方案数,因为项链成环,第一个和第k+1个相同 sovle(k)表示长度为k的项链的方案数 现在讨论置换:这道题只用考虑旋转不用考虑翻转,所以有顺时针旋转1~n,共n种。 对于旋转i颗珠子,会出现p[i]=gcd(i,n)个循环,每个循环都是n/gcd(i,n); 找不动点,就是置换后各个位置的颜色都相同。所以第j个珠子和第j+p[i]个珠子的颜色相同。所以每p个珠子颜色重复一次, 因而只要求出p[i]个珠子长的项链有多少种方案,就是旋转i个珠子的不动点数 不动点总数ans=∑solve(p[i]),由于n可达1e9,所以不能直接求,由于p[i]=gcd(i,n),所以p[i]只能是n的因子。 枚举因子,对于每个因子q,总共有euler_phi(n/q)个不超过n的数与n的最大公约数是q; 因为只有当k<=n/q,且k与n/q互质的情况下,gcd(k*q,n)=q; 最后ans=∑euler_phi(n/q)*slove(q)(q为n的因子) 答案就是(ans/n)%mod<-->ans*n^(mod-2)%mod(mod为素数),这个可以用模乘法的逆来证明,可以直接当定理用了 */
如果还是不明白,可以看看这个人的博客:点击打开链接