算法之LCA与RMQ问题
http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/
1、 概述
LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指这样一个问题：在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先（另一种说法，离树根最远的公共祖先）。 RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，本文介绍了当前解决这两种问题的比较高效的算法。
2、 RMQ算法
对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法也许会存在问题。
本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。
首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。
然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。
算法伪代码：
//初始化
INIT_RMQ
//max[i][j]中存的是重j开始的2^i个数据中的最大值，最小值类似，num中存有数组的值
for i : 1 to n
max[0][i] = num[i]
for i : 1 to log(n)/log(2)
for j : 1 to (n+1-2^i)
max[i][j] = MAX(max[i-1][j], max[i-1][j+2^(i-1)]
//查询
RMQ(i, j)
k = log(j-i+1) / log(2)
return MAX(max[k][i], max[k][j-2^k+1])
当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，具体可阅读这篇文章：《数据结构之线段树》。
3、 LCA算法
对于该问题，最容易想到的算法是分别从节点u和v回溯到根节点，获取u和v到根节点的路径P1，P2，其中P1和P2可以看成两条单链表，这就转换成常见的一道面试题：【判断两个单链表是否相交，如果相交，给出相交的第一个点。】。该算法总的复杂度是O（n）（其中n是树节点个数）。
本节介绍了两种比较高效的算法解决这个问题，其中一个是在线算法（DFS+ST），另一个是离线算法（Tarjan算法）。
在线算法DFS+ST描述(思想是：将树看成一个无向图，u和v的公共祖先一定在u与v之间的最短路径上)：
（1）DFS：从树T的根开始，进行深度优先遍历（将树T看成一个无向图），并记录下每次到达的顶点。第一个的结点是root(T)，每经过一条边都记录它的端点。由于每条边恰好经过2次，因此一共记录了2n-1个结点，用E[1, ... , 2n-1]来表示。
（2）计算R：用R[i]表示E数组中第一个值为i的元素下标，即如果R[u] < R[v]时，DFS访问的顺序是E[R[u], R[u]+1, …, R[v]]。虽然其中包含u的后代，但深度最小的还是u与v的公共祖先。
（3）RMQ：当R[u] ≥ R[v]时，LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[v], R[u])；否则LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[u], R[v])，计算RMQ。
由于RMQ中使用的ST算法是在线算法，所以这个算法也是在线算法。
【举例说明】
T=<V,E>，其中V={A,B,C,D,E,F,G},E={AB,AC,BD,BE,EF,EG},且A为树根。则图T的DFS结果为：A->B->D->B->E->F->E->G->E->B->A->C->A，要求D和G的最近公共祖先, 则LCA[T, D, G] = RMQ(L, R[D], R[G])= RMQ(L, 3, 8)，L中第4到7个元素的深度分别为：1,2,3,3，则深度最小的是B。
离线算法（Tarjan算法）描述：
所谓离线算法，是指首先读入所有的询问（求一次LCA叫做一次询问），然后重新组织查询处理顺序以便得到更高效的处理方法。Tarjan算法是一个常见的用于解决LCA问题的离线算法，它结合了深度优先遍历和并查集，整个算法为线性处理时间。
Tarjan算法是基于并查集的，利用并查集优越的时空复杂度，可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问 的次数。更多关于并查集的资料，可阅读这篇文章：《数据结构之并查集》。
同上一个算法一样，Tarjan算法也要用到深度优先搜索，算法大体流程如下：对于新搜索到的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜索，每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并，并将当前结点设为这个集合的祖先。之后继续搜索下一棵子树，直到当前结点的所有子树搜索完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于进行的是深度优先搜索，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v所在集合的祖先。
算法伪代码：
LCA(u)
{
Make-Set(u)
ancestor[Find-Set(u)]=u
对于u的每一个孩子v
{
LCA(v)
Union(u,v)
ancestor[Find-Set(v)]=u
}
checked[u]=true
对于每个(u,v)属于P // (u,v)是被询问的点对
{
if checked[v]=true
then {
回答u和v的最近公共祖先为ancestor[Find-Set(v)]
}
}
}
【举例说明】 根据实现算法可以看出，只有当某一棵子树全部遍历处理完成后，才将该子树的根节点标记为黑色（初始化是白色），假设程序按上面的树形结构进行遍历，首先从节点1开始，然后递归处理根为2的子树，当子树2处理完毕后，节点2， 5， 6均为黑色；接着要回溯处理3子树，首先被染黑的是节点7（因为节点7作为叶子不用深搜，直接处理），接着节点7就会查看所有询问(7, x)的节点对，假如存在(7, 5)，因为节点5已经被染黑，所以就可以断定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即节点1（因为2子树处理完毕后，子树2和节点1进行了union，find(5)返回了合并后的树的根1，此时树根的ancestor的值就是1）。有人会问如果没有(7, 5)，而是有(5, 7)询问对怎么处理呢? 我们可以在程序初始化的时候做个技巧，将询问对(a, b)和(b, a)全部存储，这样就能保证完整性。 4、 总结 LCA和RMQ问题是两个非常基本的问题，很多复杂的问题都可以转化这两个问题解决，这两个问题在ACM编程竞赛中遇到的尤其多。这两个问题的解决方法中用到很多非常基本的数据结构和算法，包括并查集，深度优先遍历，动态规划等。5、 参考资料 （1） 判断两个链表是否相交 （2） 博文《LCA问题（含RMQ的ST算法）》 （3） 博文《Range Minimum Query and Lowest Common Ancestor》 （4） 博文《LCA问题（最近公共祖先问题）+ RMQ问题》 （5） 博文《最近公共祖先(LCA)的Tarjan算法》 （6） 博文《LCA 最近公共祖先的Tarjan算法》 ---------------------------------------------------
以下是对上述思想的实现：
int mmax[18][100001];//mmax[i][j]；表示从j开始的2^i个数据中的最大值
int f[100001];//原始数据
int m;//数据的大小
void init_rmq()
{
memset(mmax,0,sizeof(mmax));
for(int i=0;i<m;i++)
mmax[0][i]=f[i];
int t1=floor(log((double)m)/log(2.0f));
for(int i=1;i<=t1;i++)
for(int j=0;j<=(m-pow(2.0,(double)(i)));j++)
mmax[i][j]=max(mmax[i-1][j],mmax[i-1][j+(int)pow(2.0,(double)(i-1))]);
}
int find(int i,int j)//从i开始的j个数字
{
int k=log((double)(j-i+1))/log(2.0);
return max(mmax[k][i],mmax[k][(int)(j-pow(2.0,(double)k)+1)]);
}
void RMQ()
{
for(int i=1;i<=10;i++)
cin>>f[i];
m=10;
init_rmq();
cout<<find(0,5);
}
#define N 10
int edge[N][N];
int E[2*N];
int visited[N];
int i=-1;
int arcnum;
int deep[N];
void dfs(int u,int dep)
{
E[++i]=u;//首先记录当前的点
deep[u]=dep;
visited[u]=1;
for(int j=0;j<N;j++)
{
if(j!=u&&edge[u][j]&&!visited[j])
{
dfs(j,dep+1);
E[++i]=u;
}
}
}
void init()
{
cin>>arcnum;
int i,j;
for(int t=0;t<arcnum;t++)
{
cin>>i>>j;
edge[i][j]=edge[j][i]=1;
}
memset(visited,0,sizeof(visited));
memset(E,0,sizeof(E));
}
void print()
{
for(int t=0;t<=i;t++)
cout<<E[t]<<" ";
cout<<endl;
cout<<"深度为:"<<endl;
for(int t=0;t<=arcnum;t++)
{
cout<<deep[t]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int LCA(int D,int G)
{
int min=100;
if(D<G)
{
for(int i=D+1;i<=G-1;i++)
{
if(deep[E[i]]<min)
min=deep[E[i]];
}
}
else
{
for(int i=G+1;i<=D-1;i++)
{
if(deep[E[i]]<min)
min=deep[E[i]];
}
}
return min;
}
int mmin[18][100001];//mmax[i][j]；表示从j开始的2^i个数据中的最大值
void init_rmq_1()
{
memset(mmin,0,sizeof(mmin));
for(int i=0;i<m;i++)
mmin[0][i]=E[i];
int t1=floor(log((double)m)/log(2.0f));
for(int i=1;i<=t1;i++)
for(int j=0;j<=(m-pow(2.0,(double)(i)));j++)
mmin[i][j]=min(mmin[i-1][j],mmin[i-1][j+(int)pow(2.0,(double)(i-1))]);
}
int find_1(int i,int j)//从i开始的j个数字
{
int k=log((double)(j-i+1))/log(2.0);
return min(mmin[k][i],mmin[k][(int)(j-pow(2.0,(double)k)+1)]);
}
void RMQ_1()
{
for(int i=1;i<=10;i++)
cin>>f[i];
m=10;
init_rmq_1();
cout<<find_1(0,5);
}
int LCA_RMQ(int u,int v)
{
m=i+1;
init_rmq_1();
return find_1(u+1,v-1);
}
int main()
{
init();
dfs(0,0);
print();
cout<<E[2]<<"和"<<E[7]<<"的祖先为:"<<endl;
cout<<E[LCA(2,7)]<<endl;
cout<<LCA_RMQ(2,7);
return 0;
}以上是RMQ算法，以及使用RMQ算法解决LCA问题。
离线算法Tarjan算法之后单独实现 。