hihoCoder #1142 : 三分求极值

【题目链接】：click here~~

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

这一次我们就简单一点了，题目在此：

在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。

提示：三分法

输入

第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200

输出

第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)

样例输入

2 8 2 -2 6

样例输出

2.437

【思路】

二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。但当函数是凸形函数时，二分法就无法适用，这时就需要用到三分法。
从三分法的名字中我们可以猜到，三分法是对于需要逼近的区间做三等分：

我们发现lm这个点比rm要低，那么我们要找的最小点一定在[left,rm]之间。如果最低点在[rm,right]之间，就会出现在rm左右都有比他低的点，这显然是不可能的。 同理，当rm比lm低时，最低点一定在[lm,right]的区间内。利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值。

接下来我们回到题目上，抛物线和点之间的距离可以简单的用直线公式计算：即d = min{sqrt((X - x)^2+(aX^2+bX+c-y)^2)}该公式展开后为4次，需要采用求导等方法来求极值。对于计算机编程来说是很麻烦的一件事。
进一步观察题目，我们可以发现根据带入的X值不同，d的长度恰好满足凸形函数。而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。那么三分法不就正好可以用来解决这道题目了么？需要注意在解题过程中一定要想清楚如何划分区间，我们求的各个变量到底是什么含义。

 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double MIN=-1e3;
const double MAX=1e3;
const double eps=1e-6;
double a,b,c,x,y;
double Calc(double X)
{
    return sqrt((X-x)*(X-x)+(a*X*X+b*X+c-y)*(a*X*X+b*X+c-y));
}
void solve()
{
    double left=MIN,right=MAX;
    double mid,midmid;
    double mid_value,midmid_value;
    while(left+eps<right)
    {
        mid=(left+right)/2;
        midmid=(mid+right)/2;
        mid_value=Calc(mid);
        midmid_value=Calc(midmid);
        if(mid_value<=midmid_value) right=midmid;
        else left=mid;
    }
    printf("%.3f\n",Calc(left));
}
int main()
{
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&x,&y);
    solve();
}