鸽巢原理的一些巧妙运用
1.如果将1，2……10随机地摆放一圈，则必有相邻的三个数之和至少是17.
证：将{1,2...10}随机排列，排成某一特定循环排列 a1,a2,...,a10。随机取三个连续数，共有 b1={a1,a2,a3},b2={a2,a3,a4}....b10={a10,a1,a2} 十种可能的选择。而 b1+b2+... +b9+b10 = 3*(a1+a2+....+a10)。此题中 ,b1+b2+... +b9+b10=3*55=165。因165/10<17，则十个鸽笼要装下165只鸽子，必有一个鸽笼要装大于等于17只鸽子。得证。
2.证明有理数a/b展开的十进制小数是有限小数或是循环小数。
证：a/b=k0+a0/b, 0<=a0<b, k0为整数；a0/b=1/10*(10a0/b)=1/10*(k1+a1/b),0<=a1<b,k1为整数；
综上，可得到 a/b=k0+k1/10+k2/102+...+kn/10n+an/b/10n;
一个数除以b所得到的余数为0~b-1。若ai/b=0，则a/b为有限小数。
若ai/b!=0，分两种情况，若找到kj=ki，j<i，则继续展开会得到从kj展开一样的结果，即得到了循环小数；若找不到满足kj=ki，j<i的，则继续展开，根据鸽巢原理，最多经过b步，取遍余数0~b-1。第b+1步，则必然能在k1...kb中找到与kb+1相同的值，继续分解，产生循环小数。