关于pie的概率趣题

    最近在看科普名著《从一到无穷大》，讲的关于无序运动定律时引申出关于概率的部分的一些概念和趣味题目，有一个小题目还是蛮有意思的。分享之。

    如下图所示，无数次投递火柴到条纹旗帜中，假设火柴长度与条纹宽度相等，请问火柴与灰色条纹相交的概率是多少呢？

   

分析下我们可以知道，火柴与边界相交决定因素主要有两个，火柴中点到边界的垂直距离，还有就是半根火柴长度在边界垂直方向上的投影，即半根火柴长度的正弦值。

如下图所示：

半根火柴长度在边界垂直方向上的投影长度大于垂直距离则它们相交，反之不相交。

下面我们所问题聚焦，分析如下图，在半根火柴和中点距离1英寸的范围内考察。

图中所示的曲线为正弦曲线即sin（x）在[0,pie/2)范围，横轴即下落的角度，我们用弧度表示，纵轴即半根火柴在此角度的投影长度。

我们可以知道，在此曲线下的点，投影值大于距离，即相交，曲线以上的点投影值小于距离，即不相交。（为什么呢？）

因此我们可以根据图中被曲线分割的两部分面积来计算概率了。

相交部分的面积可以用积分的方法，即sin(x) 的在[0,pie/2]的积分值，等于1

整体矩形的面积为1×pie/2 = pie/2

所以相交的概率为2/pie。

想到以前写过的类似的一片文章，也是讲概率的，方法真的很多啊，本题还有其他方法吗？