OpenGL ES九 - 四元数

注:原作者没有完成骨骼动画的章节,这是我们找到的最后一篇了

在进入下一篇关于骨骼动画的文章之前,让我们先花点时间来了解一个马上会使用到的新数据类型: 四元数[译者注:关于四元数的概念可以参考这个链接: 点我]。我们用四元数存储单一骨骼在3个轴线上的旋转信息,换句话说,存储的是骨骼指向的方向。在下一部分介绍的仿真骨骼动画中,你将会看到,模型的顶点是同一个或多个骨骼相关联的,当骨骼移动时它们也会随之变化。相对于将 欧拉角信息存储在3个GLfloats变量或一个 Vector3D 变量里来说, 使用四元数有2个优点:

1.四元数不会造成万向节死锁( gimbal lock),但是欧拉角容易造成万向节死锁,使用四元数能够让我们的3D模型能够全方位的移动。
2.相比于给每个欧拉角做矩阵旋转转换计算,使用四元数结合多角度旋转可以显著的减少计算量。

从某些方面来看,四元数极其复杂且难于理解。它们是高级数学:完全疯狂的符咒。幸运的是,你不需要完全理解它们背后的数学含义。但是,我们现在需要使用它们来完成骨骼动画,所以还是值得我们花费些时间来讨论下它们的概念和怎么使用它们。

Discovery探索
从数学上讲,四元数是复数的一个扩展延伸,于1843年由 Sir William Rowan Hamilton 发现。技术上讲,四元数表现为实数之上的4维正规可除代数。Zoiks!更简单的讲,四元数被认为是第四维度用来计算笛卡尔坐标中的3个坐标值。好吧,一切可能不那么简单,对吧?

先别怕,如果你不精通高等数学,四元数可能会让你头疼。但是,如我之前所说,如果你只是使用它们,完全不必深入了解。这玩意和你见过的一些概念是非常类似的。不知你是否还能想起我们在3维空间里涉及到的4X4矩阵的矩阵转换。当我们使用已转换的数据的时候,忽略了第4个值。我们可以把这里的第四个值当成四元数,为计算提供了一个位置。数学范畴内,请不要跟我说——过度简化有助于凡人在四元数世界里占有一席之地,有所作为。

四元数在探索时代里被认为是相当创新的,但最繁荣的时期却如此短暂。在1880中期, 向量微积分开始在计算领域取代四元数理论,因为它用了一种更为容易理解和描述的概念描述了同样的现象。

Not Quite Dead Yet!虽死犹生
但在20世纪,四元数又重新获宠。正如我们在part 7里讨论的,有一个被称为gimbal lock 的现象,当你在每个轴线单独做旋转转换的时候就会发生,此现象的危害就是可能导致在三个轴中的一个轴上停止旋转。

尽管事实是四元数源于复数和理论数学,但它们都有实际应用。其中一个实际应用是三轴线上旋转角的展现。由于四元数用四个维度展示了笛卡尔(或三轴)旋转,此展现不会导致gimbal lock,而且你可以在四元数和旋转矩阵之间,四元数和欧拉角之间进行无损转换。这使得存储某些对象的旋转信息相当完美,比如。。。骨骼框架中的单独骨骼?不需要存贮3轴的角信息,而是存储一个单独的四元数。

四元数和矩阵一样,可以相乘,且存储于不同四元数中的旋转值通过相乘来合并计算。四元数乘积和2个旋转矩阵乘积的结果是完全一样的,考虑到减少计算量,这意味着除了要避免gimbal lock,还要减少每次程序循环运行的 FLOPS(每秒浮点运算次数)。和矩阵乘法相比,四元数乘法不仅步骤少,而且可以通过一个四元数表达3轴所有数据。如果通过Vector3D 或3个GLfloats来存储旋转信息,我们经常不得不做3次矩阵乘法——每轴都要算一次。结论是,通过把存储旋转的独立角信息存为四元数,可以带来可观的性能提升。

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