[BZOJ 2440] 完全平方数【莫比乌斯函数/容斥原理/二分法】

[Description] 求第k个无平方因子数。无平方因子数指分解之后所有质因数的次数都为1的数。

[Solution]
我们可以进行二分操作，查找区间[1,x]里有几个无平方因子数，逐渐缩小范围依次求解。
然而怎么计算区间[1,x]内无平方因子数的个数Q呢？
根据容斥原理，
Q=x-x内有一个平方因子的数+x内有两个平方因子的数-x内有三个平方因子的数…
=x-x内(4的倍数个数+9的倍数的个数+25的倍数的个数)+x内(36(2*3*2*3)的倍数+100(2*5*2*5)的倍数)…
=

现在的问题是，对于某个n/(i*i),到底是取正还是取负呢？
我们发现，对于有奇数个质数平方的因子数取正，有偶数个质数平方的因子数取正，仔细一看，这不正是i的莫比乌斯函数值吗？于是可求出Q=

然后就可以愉快的AC辣！

#include<cmath>
#include<cstdio>

typedef long long ll;
const ll maxx=(ll)1<<32;
const int maxlim=1<<16;

bool form[maxlim];
int mu[maxlim]={0,1},prime[maxlim],cnt;
void MakeMuList(){                         //线性筛
        for(int i=2;i<maxlim;i++){
            if(!form[i]) prime[cnt++]=i,mu[i]=-1;
            for(int j=0,t=prime[j]*i;t<maxlim;j++,t=prime[j]*i){
                form[t]=true;
                if(!(i%prime[j])){ mu[t]=0; break; }
                mu[t]=-mu[i];
            }
    }
}
ll query(ll x){
    int lim=sqrt(x);
    ll ans=x;
    for(int i=2;i<=lim;i++) ans+=mu[i]*(x/(i*i));
    return ans;
}
void find(int k){
    if(k==1){ printf("1\n"); return; }
    int num=0;
    ll l=1,r=1644934081,x=0;                 //r为二分上界
    while(l<=r){
        ll mid=(l+r)>>1;
        num=query(mid);
        if(num>=k) r=mid-1,x=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",x);
}
int main(){
    MakeMuList();
    int kase; scanf("%d",&kase);
    while(kase--){
        int k; scanf("%d",&k);
        find(k);
    }
    return 0;
}