概率论经典问题之匹配问题

匹配问题

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    • 问题
    • 解决方法一
      • 问题a
      • 问题b
    • 解决方法二
      • 问题a
      • 问题b

问题

一个屋子里面有N个人,每个人有一顶帽子。假如所有人把帽子扔到屋子中央,然后每个人都随机选一顶帽子。
a) 没有人捡到自己帽子的概率;
b) 有 k(kN) 个人捡到自己帽子的概率。

解决方法一

问题a

先计算至少有一个人捡到自己帽子的概率。设 Ei,i=1,2,,N 表示事件第i个人捡到了他自己的帽子。现在,根据容斥原理,至少一个人捡到自己帽子的概率 P(i=1NEi) 就等于:

P(i=1NEi)=i=1NP(Ei)i1<i2P(Ei1Ei2)++(1)n+1i1<i2<inP(Ei1Ei2Ein)++(1)N+1P(E1E2EN)

如果将实验结果看作是一个 N 维数组的话,其中第 i 个元素表示被第 i 个人捡到的帽子的编号,那么有 N! 种可能的结果(例如结果 (1,2,3,,N) 表示所有人都拿到了自己的帽子)。进一步的, Ei1Ei2Ein 表示事件是 i1,i2,,in n 个人拿到了自己的帽子,这样的可能有 (Nn)(Nn1)321=(Nn)! 种,因为剩下的 Nn 个人中随便选帽子。总共的可能结果是 N! 种,因此:

P(Ei1Ei2Ein)=(Nn)!N!

同时,对于 i1<i2<<inP(Ei1Ei2Ein) 总共有 (Nn) (即 CnN )种选法,因此:
i1<i2<<inP(Ei1Ei2Ein)=N!(Nn)!(Nn)!n!N!=1n!

因此,
P(i=1NEi)=112!+13!+(1)N+11N!

所以,没有人捡到自己帽子的概率就是:
11+12!13!++(1)NN!

N 非常大时,此概率为 e1.36788 .也就是说, N 很大时,没有人捡到自己帽子的概率大约是.37,而不是很多人认为的概率会趋向于1当 N

问题b

E 表示事件 k 人中每个人都拿到了自己的帽子, G 表示事件其它的 Nk 个人中没有人拿到自己的帽子。则:

P(EG)=P(E)P(G|E)

Fi,i=1,,k ,表示事件第 i 个人拿到了自己的帽子。则:
P(E)====P(F1F2Fk)P(F1)P(F2|F1)P(F3|F2F1)P(Fk|F1Fk1)1N1N11N21Nk+1(Nk)!N!

已知 k 人中的每个人都捡到了自己的帽子,其它的 Nk 个人将随机的在他们的 Nk 个帽子中选择,因此其它人中没有人捡到自己帽子的概率是:

P(G|E)=PNk=i=0Nk(1)i/i!

因此,指定的 k 人捡到自己帽子而其它人没有捡到自己帽子的概率是:
P(EG)=(Nk)!N!PNk

因为选择 k 人有 (Nk) 种方法,因此,要求的概率就是:
P(k)=PNk/k!e1/k!k

解决方法二

问题a

E 表示事件没有匹配发生,此事件显然与 n 有关,记为 Pn=P(E) . 我们从第一个人是否选择到了自己的帽子开始——分别记为 M MC 。则:

Pn=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|MC)P(MC)

显然, P(E|M)0 ,因此
Pn=P(E|MC)n1n(1)

现在, P(E|MC) 剩下 n1 个人都没有捡到自己帽子的概率(且其中一人的帽子不在这些帽子中,因为已经被第一个人捡走了)。此事发生可由两种独立事件组成:那个人捡到了第一个人的帽子且其它人都没有捡到自己的帽子,以及那个人捡到了除了第一个人和他自己的帽子以外的一顶帽子,且其它人都没有捡到自己的帽子。前者的概率是 [1/(n1)]Pn2 ,由此可得:
P(E|MC)=Pn1+1n1Pn2

因此,由式 (1) ,可以得到:
Pn=n1nPn1+1nPn2

或者,等价地:
PnPn1=1n(Pn1Pn2)(2)

再由于 Pn 表示 n 个人中无匹配的概率,因此:
P1=0P2=12

(2) 式,得:
P3P2=P2P13=13!P4P3=P3P24=14!ororP3=12!13!P4=12!13!+14!

由此,一般地,
Pn=12!13!+14!+(1)nn!

问题b

为了计算只有 k 人得到自己帽子的概率,我们考虑一个确定的 k 人组,有且只有此 k 人捡到自己帽子的概率是:

1n1n11n(k1)Pnk=(nk)!n!Pnk

其中 Pnl 表示其它 nk 个人没有捡到自己帽子的概率。总共有 (nk) 种选法,因此有且只有 k 个捡到自己帽子的概率是:
Pnkk!=12!13!++(1)nk(nk)!k!

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