概率论经典问题之匹配问题

匹配问题

问题

一个屋子里面有N个人，每个人有一顶帽子。假如所有人把帽子扔到屋子中央，然后每个人都随机选一顶帽子。
a) 没有人捡到自己帽子的概率；
b) 有 k(k⩽N) 个人捡到自己帽子的概率。

解决方法一

问题a

先计算至少有一个人捡到自己帽子的概率。设 Ei,i=1,2,…,N 表示事件第i个人捡到了他自己的帽子。现在，根据容斥原理，至少一个人捡到自己帽子的概率 P(⋃i=1NEi) 就等于：

P(⋃i=1NEi)=∑i=1NP(Ei)−∑i1<i2P(Ei1Ei2)+…+(−1)n+1∑i1<i2⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)+⋯+(−1)N+1P(E1E2…EN)

如果将实验结果看作是一个 N 维数组的话，其中第 i 个元素表示被第 i 个人捡到的帽子的编号，那么有 N! 种可能的结果(例如结果 (1,2,3,…,N) 表示所有人都拿到了自己的帽子)。进一步的， Ei1Ei2…Ein 表示事件是 i1,i2,…,in 这 n 个人拿到了自己的帽子，这样的可能有 (N−n)(N−n−1)⋯3⋅2⋅1=(N−n)! 种，因为剩下的 N−n 个人中随便选帽子。总共的可能结果是 N! 种，因此：

P(Ei1Ei2⋯Ein)=(N−n)!N!

同时，对于 ∑i1<i2<⋯<inP(Ei1Ei2…Ein) 总共有 (Nn) (即 CnN )种选法，因此：

∑i1<i2<⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)=N!(N−n)!(N−n)!n!N!=1n!

因此，

P(⋃i=1NEi)=1−12!+13!−⋯+(−1)N+11N!

所以，没有人捡到自己帽子的概率就是：

1−1+12!−13!+⋯+(−1)NN!

N 非常大时，此概率为 e−1≈.36788 .也就是说， N 很大时，没有人捡到自己帽子的概率大约是.37，而不是很多人认为的概率会趋向于1当 N→∞时

问题b

设 E 表示事件 k 人中每个人都拿到了自己的帽子， G 表示事件其它的 N−k 个人中没有人拿到自己的帽子。则：

P(EG)=P(E)P(G|E)

设 Fi,i=1,…,k ，表示事件第 i 个人拿到了自己的帽子。则：

P(E)====P(F1F2⋯Fk)P(F1)P(F2|F1)P(F3|F2F1)⋯P(Fk|F1⋯Fk−1)1N1N−11N−2⋯1N−k+1(N−k)!N!

已知 k 人中的每个人都捡到了自己的帽子，其它的 N−k 个人将随机的在他们的 N−k 个帽子中选择，因此其它人中没有人捡到自己帽子的概率是：

P(G|E)=PN−k=∑i=0N−k(−1)i/i!

因此，指定的 k 人捡到自己帽子而其它人没有捡到自己帽子的概率是：

P(EG)=(N−k)!N!PN−k

因为选择 k 人有 (Nk) 种方法，因此，要求的概率就是：

P(只有k个人捡到自己帽子)=PN−k/k!≈e−1/k!当k很大时

解决方法二

问题a

设 E 表示事件没有匹配发生，此事件显然与 n 有关，记为 Pn=P(E) . 我们从第一个人是否选择到了自己的帽子开始——分别记为 M 和 MC 。则：

Pn=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|MC)P(MC)

显然， P(E|M)＝0 ，因此

Pn=P(E|MC)n−1n(1)

现在， P(E|MC) 剩下 n−1 个人都没有捡到自己帽子的概率(且其中一人的帽子不在这些帽子中，因为已经被第一个人捡走了)。此事发生可由两种独立事件组成：那个人捡到了第一个人的帽子且其它人都没有捡到自己的帽子，以及那个人捡到了除了第一个人和他自己的帽子以外的一顶帽子，且其它人都没有捡到自己的帽子。前者的概率是 [1/(n−1)]Pn−2 ，由此可得：

P(E|MC)=Pn−1+1n−1Pn−2

因此，由式 (1) ，可以得到：

Pn=n−1nPn−1+1nPn−2

或者，等价地：

Pn−Pn−1=−1n(Pn−1−Pn−2)(2)

再由于 Pn 表示 n 个人中无匹配的概率，因此：

P1=0P2=12

由 (2) 式，得：

P3−P2=−P2−P13=−13!P4−P3=−P3−P24=−14!ororP3=12!−13!P4=12!−13!+14!

由此，一般地，

Pn=12!−13!+14!−⋯+(−1)nn!

问题b

为了计算只有 k 人得到自己帽子的概率，我们考虑一个确定的 k 人组，有且只有此 k 人捡到自己帽子的概率是：

1n1n−1⋯1n−(k−1)Pn−k=(n−k)!n!Pn−k

其中 Pn−l 表示其它 n−k 个人没有捡到自己帽子的概率。总共有 (nk) 种选法，因此有且只有 k 个捡到自己帽子的概率是：

Pn−kk!=12!−13!+⋯+(−1)n−k(n−k)!k!