Problem B. Cookie Clicker Alpha解答

原题链接： Problem B. Cookie Clicker Alpha。

这题的小数据8分，大数据11分，共19分。

在分析解题思路之前，我们先看一下题目中的例子。

假设方案一从来都不买form，那就意味着产生cookie的速率一直都是2个/秒；按照方案二，当买了第一个form之后，速率由2个/秒增加到了6个/秒，买了第n个form之后，速率变成(2+4n)个/秒。

如果以时间为横轴，cookie的数目为纵轴，那么时间和cookie的关系如下图。

从上图中，我们可以看出，第一种方案需要1000秒，第二种方案需要500多秒。

从折现的斜率来看，买的form数目越多，产生cookie的速度越快。但每当买一个form之后，虽然速率增加了，但是cookie的数目马上就减少了。同不买form的那种方案相比，需要一定的时间才能赶上它。

也就是说，我们应当尽量地多买form才能保证多产cookie，但form的数目存在一个临界值，当form的数目多余这个数字时，我们不必买form就能更快地达到要求的cookie数目X。

那这个form数目的临界值是多少呢？

当第一次达到500个cookie时，假设此时的时刻为0，如果不买form，那么再过t秒，cookie数目为 500 + 2t。如买一个form，那么在t时刻的form数目为(2+4)t，也就是6t，那么方案二追上方案一随需的时间是多少呢？ 500 + 2t >= 6t，得出t>=125，也就是说，在125秒之前，方案二中cookie的数目小于方案一的数目，这个临界数目是500 + 2t = 750。当产生cookie的数目小于750时，方案一更快，大于750时，方案二更快。

在当前例子中，X的数目为2000，大于750，所以应该采取方案二。

继续产生cookie，当cookie数达到500时，假设我们目前已经有了n个form，如果不买form，再过t秒的cookie数目为500 + (4n+2)t，如果买form，那么再过t秒，cookie数为 (4n+2)t + 4t。我们可以算出，t恒为125，也就是说如果500 + (4n + 2) * 125>=2000，那么应该采用方案一，否则采用方案二。

我们算出n>= 2.5，取整之后form的数目n>=3。

把C，F，X放到公式里，那就是  （ 2 + nF） * C/F  >=  X - C，然后得到 n的值是 X / C - 1 - 2 / F。那么算上买n次form的时间，加上最后一次的时间 X / ( 2 + n * F )，就是我们所需的结果了。

时间复杂度o(1)。

源代码： CookieClicker.java