哥德巴赫猜想的拓展

哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数，都可以表示为两个素数之和。

 

另外还有，任何一个大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。

 

 

题目：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1356

 

题意：给定一个正整数n，范围是[2,10^9]，把n表示为若干个素数的和，输出一种方案，使得素数的个数最少。

 

分析：如果n是素数，那么直接输出它即可；

     否则如果n是大于2的偶数，那么根据哥德巴赫猜想它可以表示为两个素数之和，可以用Miller_Rabin判断；

     否则，n就只能是奇数且非素数，那么对于任意一个大于5的奇数，我们先判断它是否是2和一个素数的和，即判断n-2是

     否是素数，如果是，那么就可以表示为两个素数相加

     否则我们可以把它表示为3个素数之和。n-3+3=n，注意3是素数，而且n-3是偶数，这样我们可以把n表示n=p1+p2+3.

 

所以经过上面的分析，对于任意一个正整数n，我们最多可以用3个素数之和来表示它。

 

一般来说，对于一个大于2偶数n，范围在[4,10^9]，表示为两个素数之和后，小的那个素数不会很大，所以我们可以在区间

[2,100000]里面枚举素数就可以了。

 

 

 

题目描述：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和，比如

6 = 2+2+2

6 = 3+3

10 = 2+2+2+2+2

10 = 2+2+3+3

10 = 2+3+5

10 = 3+7

像3+7与7+3只有顺序不一样的认为是一种方式

问：给定一个10000以内的偶数，将它表示为素数的和有几种方式？(结果对10^9+7取模)

 

分析：相当于求以质数为物品体积，背包容量为10000的，可以重复选择的背包，设p[i]是第i个质数，dp[i][n]表示把正整

数n拆分为不大于p[i]的若干质数和的方案数，则有dp[i][n]=dp[i-1][n]+dp[i][n-p[i]]

 

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <vector>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10005;
const LL MOD = 1000000007;

bool prime[N];
int p[N];
int k;

vector<LL> v1;
vector<LL> v2;
vector<LL> *p1;
vector<LL> *p2;

void isprime()
{
    k = 0;
    int i,j;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(i=2;i<N;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[k++] = i;
            for(j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                prime[j] = false;
            }
        }
    }
}

void Work()
{
    p1 = &v1;
    p2 = &v2;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        if(i&1) p1->push_back(0);
        else    p1->push_back(1);
    }
    for(int i=1;i<k;i++)
    {
        p2->clear();
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            if(j < p[i]) p2->push_back((*p1)[j]%MOD);
            else         p2->push_back(((*p1)[j]%MOD + (*p2)[j-p[i]]%MOD)%MOD);
        }
        vector<LL> *tmp;
        tmp = p2;
        p2 = p1;
        p1 = tmp;
    }
}

int main()
{
    int n;
    isprime();
    Work();
    while(cin>>n)
    {
        cout<<(*p1)[n]<<endl;
    }
    return 0;
}