Frustum裁剪是CLOD中很重要的一个算法，很多文章都是一句话就过去，或者直接给出代码。但是数学推导很少给出，本文章的目的就是解释大家看这些代码中的疑问。
透视投影是将相机空间中的点从视锥体(view frustum)变换到规则观察体(Canonical View Volume，CCV)中，即是世界空间的视锥体(view frustum)中的任何一个点，如果经过投影矩阵变换后，它必定规则观察体(Canonical View Volume，CCV)中，也即是在(-1,-1,0) ~ (1,1,1)之间的值如图1所示
我们通过这8个点构建6个面，通过3点共面，假设面是Pos0，pos1，pos2构成，u=Pos1-Pos0，v=Pos2-Pos0,那么法向量n=u×v。则d=-(n×Pos0)。得到每个平面的平面公式n，d，从而得到A，B，C，D，(n的xn，yn，zn，d，就是a，b，c，d)。这里要注意构造面试后P点的顺序，d3D是按顺时针来构造面。法线都是由frustum里到外。
Near： (P0,P4,P5) n=(0,0,-1),d=0 0x+0y-1z+0=0
Far: (P2,P6,P7) n=(0,0,1),d=-1 0x+0y+1z-1=0
Left: (P0,P3,P7) n=(-1,0,0),d=-1 -1x+0y+0z-1=0
Right: (P1,P5,P6) n=(1,0,0),d=-1 1x+0y+0z-1=0
Top: (P4,P7,P6) n=(0,1,0),d=-1 0x+1y+0z-1=0
Bottom: (P0,P1,P2) n=(0,-1,0),d=-1 0x-1y+0z-1=0
我们假设这六个平面中某个平面上存在一个点P’(x’,y’,c’,1)，那它的平面方程为A’x’ + B’y’+ C’z’+ D’= 0，在进行投影变换之前的坐标为P(x,y,z,1)，在世界空间中的平面方程Ax + By + Cz + D = 0，如果P‘点在CVV中，那点P(x,y,z,1)必定在view Frustum中。
原理一
1.推理
由介绍我们可以得到下面的等式
|A’| |A|
(x’,y’,c’,1) × |B’| = 0 (x,y,z,1) × |B| = 0
|C’| |C|
|D’| |D|
同时(x,y,c,1) × Tvproj= (x‘,y’,z‘,1)
注意Tviewproj矩阵=Tview×Tproj(即是摄像机矩阵和投影矩阵相乘。是将世界坐标转换到视平面的变化矩阵)
结合着3个等式我们可以得到
|A| |A’|
|B| =Tviewproj × |B’| (等式1)
|C| |C’|
|D| |D’|
通过等式1，我们可以求出6个面在世界坐标系下的平面方程Ax + By + Cz + D = 0
2代码
void CFrustum::InitFrustum1(const D3DXMATRIX& aoViewMatrix,const D3DXMATRIX& aoProjMatrix)
{
D3DXMATRIX loComboMatrix;
D3DXMATRIX loInvComboMatrix;
D3DXMatrixMultiply(&loComboMatrix,&aoViewMatrix,&aoProjMatrix);
// 求得view * proj的逆矩阵.
D3DXMatrixInverse(&loInvComboMatrix, NULL, &loComboMatrix );
// 如果经过投影矩阵，所有的三维世界坐标的点都变为(-1,-1,0) ~ (1,1,1)之间的值.
// 将同次空间的临界值填入moCVVPos.
moCVVPos[0].x = -1.0f; moCVVPos[0].y = -1.0f; moCVVPos[0].z = 0.0f;
moCVVPos[1].x = 1.0f; moCVVPos[1].y = -1.0f; moCVVPos[1].z = 0.0f;
moCVVPos[2].x = 1.0f; moCVVPos[2].y = -1.0f; moCVVPos[2].z = 1.0f;
moCVVPos[3].x = -1.0f; moCVVPos[3].y = -1.0f; moCVVPos[3].z = 1.0f;
moCVVPos[4].x = -1.0f; moCVVPos[4].y = 1.0f; moCVVPos[4].z = 0.0f;
moCVVPos[5].x = 1.0f; moCVVPos[5].y = 1.0f; moCVVPos[5].z = 0.0f;
moCVVPos[6].x = 1.0f; moCVVPos[6].y = 1.0f; moCVVPos[6].z = 1.0f;
moCVVPos[7].x = -1.0f; moCVVPos[7].y = 1.0f; moCVVPos[7].z = 1.0f;
//将cvv坐标转换回世界坐标
for(int i = 0; i < 8; i++ )
D3DXVec3TransformCoord( &moCVVPos[i], &moCVVPos[i], &loInvComboMatrix );
// 通过得到的世界坐标制作平截头体平面.
// 向量由平截头体内部指向外部的平面.
D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_FRONT], moCVVPos , moCVVPos+4, moCVVPos+5); // 近平面(near)
D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_BACK], moCVVPos+2, moCVVPos+6, moCVVPos+7); // 远平面(far)
D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_LEFT], moCVVPos , moCVVPos+3, moCVVPos+7); // 左平面(left)
D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_RIGHT], moCVVPos+1, moCVVPos+5, moCVVPos+6); // 右平面(right)
D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_TOP], moCVVPos+4, moCVVPos+7, moCVVPos+6); // 上平面(top)
D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_BOTTOM], moCVVPos , moCVVPos+1, moCVVPos+2); // 下平面(bottom)
}
上面的代码很容易理解，完全按原理来实现，但是当我们每次调用这个函数，我们每次都要求Tvproj矩阵的逆矩阵，同时还要重新用点来构造每个frustum平面，并且调用的是D3DXPlaneFromPoints函数。我们还有更好的方法吗？下面我们接着优化我们的代码，优化之前我们接着分析
原理二
1.推理
我们知道在P(x,y,z,1) 经过Tviewproj矩阵变换后得到点P’(x’,y’,z’,w’),这个点在前面的推导过程中,保证是在frustum的某个平面上的.这个时候我们知道如果对P的每个分量都除以w’就可以把P’归一化到一个长方体的空间，即x’/w’, y’/w’在[-1,1]区间，z’/w’在[0,1]区间，所以如果有一个投影转换后的点P1’,它的x1’,y1’在[-w’,w’]区间,z1’在[0,w’]区间，这个点肯定就在视锥体内.
|a11,a12,a13,a14|
假设Tviewproj = [v0,v1,v2,v3] = |a21,a22,a23,a24|
|a31,a32,a33,a34|
|a41,a42,a43,a44|
其中其中V0,v1,v2,v3是四个列向量.
P ’= P×Tviewproj = (P?v0, P?v1, P?v2, P?v3 ) = (x’,y’,z’,w’)
根据上面的x的范围我们有:
-w’ <= x’ 就是 -p’?v3 <= p’?v0 就是 p’?v0 + p’?v3 <= 0 得到 P’?(v0+v3) <= 0
把列向量换成矩阵的元素有
(x,y,z,1).(m_11 + m_14, m12 + m24, m13 + m34, m14 + m44 ) <= 0
就是
(m_11+m_14)*x + (m_12 + m_24)*y + (m_13 + m_34)*z + (m_14 + m_44)*1 <=0
简单地看这是一个 A*x + B*y + C*z + D*1 <= 0 描述了一个半空间，就是平面A*x + B*y + C*z + D*1 = 0右边的空间
所以我们知道是锥体的左裁减面为
(m_11+m_14)*x + (m_12 + m_24)*y + (m_13 + m_34)*z + (m_14 + m_44)*1= 0.
相应地可以计算出 6个裁减面
Left= (v0 + v3).
Right =(v3 - v0)
Bottom =(v3 + v1)
Top = (v3 - v1 )
Near = (v2)
Far = (v3 - v2)
裁减的时候把点带入公式Ax+By+Cz+Dw看大与0还是小与0就可以知道在平面的里面还是外面，在实际计算中需要对A，B，C，D进行归一化。因为我们在处理坐标的时候，点几乎都是经过归一化的。
2.代码
void CFrustum::InitFrustum(const D3DXMATRIX& aoViewMatrix,const D3DXMATRIX& aoProjMatrix)
{
D3DXMATRIX loComboMatrix;
D3DXMatrixMultiply(&loComboMatrix,&aoViewMatrix,&aoProjMatrix);
// calculate the planes
// Near
D3DXPLANE* lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_NEAR];
lpPlane->a = loComboMatrix._14 + loComboMatrix._13;
lpPlane->b = loComboMatrix._24 + loComboMatrix._23;
lpPlane->c = loComboMatrix._34 + loComboMatrix._33;
lpPlane->d = loComboMatrix._44 + loComboMatrix._43;
D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane);
// Far
lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_FAR];
lpPlane->a = loComboMatrix._14 - loComboMatrix._13;
lpPlane->b = loComboMatrix._24 - loComboMatrix._23;
lpPlane->c = loComboMatrix._34 - loComboMatrix._33;
lpPlane->d = loComboMatrix._44 - loComboMatrix._43;
D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane);
//Left
lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_LEFT];
lpPlane->a = loComboMatrix._14 + loComboMatrix._11; // Left
lpPlane->b = loComboMatrix._24 + loComboMatrix._21;
lpPlane->c = loComboMatrix._34 + loComboMatrix._31;
lpPlane->d = loComboMatrix._44 + loComboMatrix._41;
D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane);
// Right
lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_RIGHT];
lpPlane->a = loComboMatrix._14 - loComboMatrix._11;
lpPlane->b = loComboMatrix._24 - loComboMatrix._21;
lpPlane->c = loComboMatrix._34 - loComboMatrix._31;
lpPlane->d = loComboMatrix._44 - loComboMatrix._41;
D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane);
// Top
lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_TOP];
lpPlane->a = loComboMatrix._14 - loComboMatrix._12;
lpPlane->b = loComboMatrix._24 - loComboMatrix._22;
lpPlane->c = loComboMatrix._34 - loComboMatrix._32;
lpPlane->d = loComboMatrix._44 - loComboMatrix._42;
D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane);
// Bottom
lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_BOTTOM];
lpPlane->a = loComboMatrix._14 + loComboMatrix._12; // Bottom
lpPlane->b = loComboMatrix._24 + loComboMatrix._22;
lpPlane->c = loComboMatrix._34 + loComboMatrix._32;
lpPlane->d = loComboMatrix._44 + loComboMatrix._42;
D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane);
}
第2种方法在没有看见之间，先看见的是代码 http://www.racer.nl/reference/vfc_markmorley.htm ，自己想了好久都没考虑清楚。最后看见解释，鄙视自己的数学逻辑推理。3d看来困难的就在于思考方式，同样的代码处理，第二种方式明显快很多。
判断裁剪
我们已经有了裁剪体的方程，当我们需要裁剪一个顶点的时候，这六个方程已经足够了。但是我们要判断一个区域的可见性时，我们进行一些额外的计算。如图2所示，一个物体和投影体的关系大致可以分为：包围、被包围、相交和相离四种情况。图中最大的浅蓝色的矩形包围了整个投影体。深绿色的小矩形则完全被投影体包围。浅绿色的矩形和投影体相交。这三种情况下物体都是可以被看到的。剩下红色的矩形则和投影体相离、只有它完全不可见
图2
当处理节点的可见性的时候，由于节点的不规则性。我们还需要引入包围体的概念。所谓的包围体，就是用一个比较简单的几何体去度量另外一个比较复杂的几何体，让它刚好能包围另外一个几何体。比较合适的包围体外形有矩形、正方形和球体。其中球体处理最为简单，但是近似度也最差。我们为每一个节点都建立一个包围体，只要测试这个包围体，我们就可以决定一个节点的可见性，由于包围体肯定大于这个节点，因此我们可以保证不会有任何可见的节点被裁剪在投影体之外
BOOL CFrustum::PointInFrustum( float afX, float afY, float afZ )
{
// A*x+B*y+C*z+D = 0 is in plane,
for(int i = 0; i < FRUSTUM_PLANE_COUNT; i++ )
{
D3DXPLANE &loPlane = moFrustumPlane[i];
//减少函数调用
//if(D3DXPlaneDotCoord(&moFrustumPlane[i], &D3DXVECTOR3(afX, afY, afZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * afX + loPlane.b * afY + loPlane.c * afZ + loPlane.d < 0.0f)
return FALSE;
}
return TRUE;
}
BOOL CFrustum::SphereInFrustum( float afX, float afY, float afZ, float AfRadius )
{
// A*x+B*y+C*z+D = -radius is in plane,
for(int i = 0; i < FRUSTUM_PLANE_COUNT; i++ )
{
D3DXPLANE &loPlane = moFrustumPlane[i];
//减少函数调用，直接用公式运算
//if(D3DXPlaneDotCoord(&moFrustumPlane[i], &D3DXVECTOR3(afX, afY, afZ)) < -AfRadius)
if( loPlane.a * afX + loPlane.b * afY + loPlane.c * afZ + loPlane.d <= -AfRadius )
{
return false;
}
}
return TRUE;
}
BOOL CFrustum::CubeInFrustum( float afX, float afY, float afZ, float aiSize,BOOL & abIsCompletelyContained )
{
float lfAlfaX = afX + aiSize;
float lfDeltaX = afX - aiSize;
float lfAlfaY = afY + aiSize;
float lfDeltaY = afY - aiSize;
float lfAlfaZ = afZ + aiSize;
float lfDeltaZ = afZ - aiSize;
DWORD ldwNumPointInFrustum = 0;
for(int i = 0; i < FRUSTUM_PLANE_COUNT; i++ )
{
int j = 8;
BOOL lbIsInAllPlanes = TRUE;
D3DXPLANE &loPlane = moFrustumPlane[i];
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfDeltaY, lfDeltaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfDeltaY, lfDeltaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfAlfaY, lfDeltaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfAlfaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfAlfaY, lfAlfaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfAlfaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfDeltaY, lfAlfaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfDeltaY, lfAlfaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfDeltaY, lfAlfaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
//if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfAlfaY, lfAlfaZ)) < 0.0f)
if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfAlfaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f)
{
lbIsInAllPlanes = FALSE;
j--;
}
// if none contained, return FALSE.
if(0 == j)
return FALSE;
// update counter if they were all in front of plane.
if(lbIsInAllPlanes)
++ldwNumPointInFrustum;
}
abIsCompletelyContained = (BOOL)(ldwNumPointInFrustum == FRUSTUM_PLANE_COUNT);
return TRUE;
}
晨曦雏鸿
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2月21日